线性代数一些证明题 1 题目
设n阶可逆矩阵A满足A2=A，求A的特征值。 知识点
特征值与特征向量
矩阵的行列式
解题过程
解：因为A2=A
所以A2－A=0
所以det(A2－A)=det[A(A－E)]=det(A)det(A－E)=0 A为可逆矩阵，所以det(A)≠0 所以det(A－E)=0 所以A的特征值为1.
常见错误
设存在λ，使Ax=λx成立 则 det(Ax)=det(A)det(x)
=det(?x)
=?ndet(x) (错误在于向量取行列式)
所以 有?n?det(A)成立.
又因为A2=A
det(A)2=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.
由于A为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A)=1
?n?1
当n为奇数时，λ=1. 当n为偶数时，λ=?1.
相关例题
设A为n阶矩阵,若A2=E，试证A的特征值是1或-1. 2题目
设A是奇数阶正交矩阵，且det(A)=1，证明det(E-A)=0. 知识点
①正交矩阵的定义：ATA=E
②单位矩阵的性质：EA=AE=A ET=E
③矩阵运算规律
④转置矩阵的性质：(A+B)T=AT+BT
⑤det(A)=det(AT)
⑥det(AB)=det(A)det(B) ⑦det(-A)=(-1)ndet(A)
解题过程
∵A是正交矩阵
∴E－A= ATA－A= ATA－EA=( AT－E)A ∵det(A)=1
∴det(E－A)=det((AT－E)A)=det(AT－E)det(A)=det(AT－E) ∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－AT)
∴det(AT－E)= det(E－AT)= det(－(AT－E))= (－1)n det(AT－E) ∵n为奇数 ∴(－1)n= －1 ∴det(AT－E)=0 ∴det(E－A)=0
常见错误
①误以为det(E－A)= det(E)－ det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0
②∵det(A)=1
∴a1·a2·…·an=1(其中a1,a2,…,an为A作初等变换变为上三角形后对角线上的元素).
∴det(E－A)=（1-a1）（1-a2）…（1-an）.
∵det(E-A)=det((AT-E)A)=det(AT-E)det(A)=det(AT-E) 且det(AT-E)= （a1-1）（a2-1）…（an-1）.
∴（1-a1）（1-a2）…（1-an）=（a1-1）（a2-1）…（an-1） = (-1)n（1-a1）（1-a2）…（1-an） ∵n为奇数 ∴(－1)n= －1
∴（1－a1）（1－a2）…（1－an）=0
∴det(E－A)=0
以上证法先把A变为上三角，再用E减去变化后的A，再求行列式，这是错误的。
相关例题
证明：若A为正交矩阵，则det(A)=±1. 3 题目
试就a,b的各种取值情况,讨论下列线性方程组的解,若有解,则求出解。
?x1?x2?x3?1??2x1?(a?2)x2?(b?2)x3?3 （1） ??3ax?(a?2b)x??323?
知识点 线性方程组解的结构
解题过程
1 ?1 1??1 r2?2r1 ??3? 解：B=?2 a?2 ?b?2 ??3 a?2b ?3??0 ?1 ?1 1??1 ?0 ? a ? b 1????0 ?3a a?2b ?3??r3?3r2
1 1 1 ??1 ? 0 a ?b 1 ????0 a?b 0??0 ?(1)当a—b?0,且a?0时，rank(B)=3，增广矩阵的秩也等于3，而且等于未知数的个数，故方程组（1）有唯一解。其解为： x3?0, x2?, x1 ?1?;
(2)当a-b=0，且a?0时，rank(B)=2,增广矩阵的秩也等于2，秩小于未知数的个数，此时故方程组（1）有无穷多解。
其解可由ax2?bx3?1，解得x2??x3,，代入第一个方程
?1??b?x1?x2?x3?1得到x1??1????1??x3；
?a??a?a?1a?b1?x??x?1?3?1aaa?1b1x??x??x3一般解为：? ?23aaa??x3?x3(任意）??1aba1a1a（3）当a=0，b 为任意数，
1 ?1 1??1 ? 0 a ?b 1此时增广矩阵可化为：?????0 0 a?b 0??1 ?1 1??1 ?0 0 ? b 1???0 ?1??0 0 ?可见，rank(B)=2, 但增广矩阵的秩为3，所以方程组（1）无解， 常见错误