在讨论带参数的线性方程时，尽管初等变换结果正确，也会产生讨论不全的错误。
如，当a?b时，就说原方程有唯一解，没有指出a?0，当a=b时，就说原方程组有无穷多解，没有指出a=b?0，等等。
相关例题
确定a,b的值，使下列方程组
x2 ?x3?1?x1? ? ?2x1?(a?2)x2?(b?2)x3?3
? 3ax2?(a?2b)x3?3?（1） 有唯一解； （2） 无解；
有无穷多解，并求出通解。 4 题目
若?1,?2,?3线性无关，?4?k1?1?k2?2?k3?3，其中k1,k2,k3全不为0. 证明?2,?3,?4线性无关. 知识点 向量线性相关
解题过程
证法一：（从定义出发）
设存在常数k1?,k2?,k3?，使得k1??2?k2??3?k3??4?0 已知?4?k1?1?k2?2?k3?3，代入上式，得
k1??2?k2??3?k3?(k1?1?k2?2?k3?3)?0
化为： k1k3??1?(k1??k2k3?)?2?(k2??k3k3?)?3?0 由题意知：?1,?2,?3线性无关
?kk?＝0?13?? ?k1??k2k3?＝0
?k2??k3k3?＝0?? k1,k2,k3全不为0
? 解得k1?＝k2?＝k3?＝0
由定义，知?2,?3,?4线性无关 证毕
证法二：（由初等列变换，秩相等）
由?4?k1?1?k2?2?k3?3(?2,?3,?4)????????(?2,?3,k1?1?k2?2?k3?3)
????(?2,?3,k1?1)
c3/k1????(?2,?3,?1)
c3?k2c2c3?k3c2由于初等变换不改变矩阵的秩，所以由?1,?2,?3线性无关，知
(?2,?3,?1)
的秩为3，所以(?2,?3,?4)秩也为3，推出?2,?3,?4线性无关
证法三：（反证法） 假设(?2,?3,?4)线性相关.
则存在不全为0的常数k1?,k2?,k3?，使得k1??2?k2??3?k3??4?0
已知?4?k1?1?k2?2?k3?3，代入上式，得
k1??2?k2??3?k3?(k1?1?k2?2?k3?3)?0
化为： k1k3??1?(k1??k2k3?)?2?(k2??k3k3?)?3?0
k1,k2,k3全不为0
? k1k3?,k1??k2k3?,k2??k3k3?不全为0
（否则，由 k1k3?＝k1??k2k3?＝k2??k3k3?＝0得k1?＝k2?＝k3?＝0） 即 ?1,?2,?线性相关, 与题目已知条件矛盾. 3所以假设不成立, 即 (?2,?3,?4)线性无关. 5
题目
设?1,?2,,?n?r?1是AX?B的解且线性无关，R(A)?r，试证AX?B的任一解可表示为
X?k1?1?k2?2??kn?r?1?n?r?1，
其中k1?k2??kn?r?1?1
知识点 基础解系 方程组解的结构
解题过程
证明
?1,?2,,?n?r?1是AX?B的解
??1??n?r?1,?2??n?r?1,由(?1,?2,,?n?r??n?r?1是AX?0的解
c1?cn?r?1c2?cn?r?1,?n?r,?n?r?1)?????
cn?r?cn?r?1(?1??n?r?1,?2??n?r?1,,?n?r??n?r?1?n?r?1)
因为 ?1,?2,? ,n?r?线性无关，所以1?1??n?r?1,?2??n?r?1,,?n?r??n?r?1,?n?r?1线性无关，
?1??n?r?1,?2??n?r?1,,?n?r??n?r?1也线性无关，且
R(?1??n?r?1,?2??n?r?1,,?n?r??n?r?1)?n?r
所以 ?1??n?r?1,?2??n?r?1,,?n?r??n?r?1是AX?0的基础解系
因为AX?0的任一解X?可以表示为：
X??k1?(?1??n?r?1)?k2?(?2??n?r?1)?AX?B的任一解X?kn?r?(?n?r??n?r?1)
可以表示为：
X?X???? ①
其中??是AX?B的一个特解
扩展①式，取????n?r?1，得
X?k1?(?1??n?r?1)?k2?(?2??n?r?1)?化简得
?kn?r?(?n?r??n?r?1)??n?r?1
X?k1??1?k2??2??kn?r??n?r?(1?k1??k2???kn?r?)?n?r?1
令kn?r?1?1?k1??k2???kn?r?，k1?k1?,k2?k2?,,kn?r?kn?r?
则AX?B的解可以表示为
X?k1?1?k2?2?且k1?k2?命题得证
?kn?r?1?k1??k2???kn?r?1?n?r?1
?kn?r?)?1
?kn?r??(1?k1??k2??另外取????i(1?i?n?r)时
X?k1?(?1??n?r?1)?k2?(?2??n?r?1)?化简得 X?k1??1?k2??2?(?k1??k2???kn?r?(?n?r??n?r?1)??i
?ki?1??i?1?(1?ki?)?i?ki?1??i?1??kn?r?)?n?r?1
?kn?r??n?r?
此时
i?令
k1??,k1?kn?r?
??,i?
k,?kn?r?1??k1??k2??则AX?B的解可以表示为
X?k1?1?k2?2?且k1?k2??kn?r?1?n?r?1
?kn?r?1
?ki?1??(1?ki?)?ki?1???kn?r??(?k1??k2???kn?r?)?1
?k1??k2??此时命题也成立
常见错误
不会应用定理. 不知两个非齐次组的解的差是齐次线性方程组的解. 6 题目
x1、x2分别属于?1、?2的特 设?1、?2是矩阵A的两个不同的特征值，
征向量，证明x1?x2不是矩阵A的特征向量. 知识点
特征值 特征向量 解题过程
用反证法.
设 x1?x2是A的对应?的特征向量，则有
A(x1?x2)??(x1?x2)??x1??x2 (1)
已知 Ax1??1x1，Ax2??2x2
所以 A(x1?x2)?Ax1?Ax2??1x1??2x2 (2) 由(1)(2)知 ?x1??x2??1x1??2x2
(???1)x1?(???2)x2?0 (3)
因为x1、x2线性无关，所以???1????2?0，???1??2与已知矛盾.
常见错误
由(1)(2)直接推出???1??2，只从形式上来看有这个结论，没有利用不同特征值所对应的特征向量是线性无关的性质， 因为有了这个性质才能推出 (3)的系数为0. 这在证明中不够严密.