乌鲁木齐地区2012年高三年级第一次诊断性测验
文理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 A 5 C 6 A 7 8 9 B 10 C 11 文D理B 12 D 选项 文B理A 文A理C B B 文B理B 1.（文科）选B.【解析】∵eUB??2,4,5,7?，∴A?(eUB)??4,5?． （理科）选A.【解析】???2?i??2i?1??2?2?i????i??1． ???????1?2i????1?2i??2i?1??2i1?i?2i?1?i???1?i．
222．（文科）选A.【解析】
?1?i??1?i?（理科）选C.【解析】由集合概念知：a存在且a?3，故排除A、B；若a?2，或6，或7时，均有A?(eUB)=?4,5?，不合题意，故排除D；若a?4，或5时，均符合题意.
3．选B.【解析】根据题意，它是一个圆柱和一个
14的球的组合体.
4．选A.【解析】由三角函数定义得点P?cos?,sin??，它在直线5x?5y?1?0上， ∴5cos??5sin??1?0，即cos??sin??15，两边平方，化简得sin2???2425.
5．选C.【解析】作出可行区域，如图，z?x?y???3,3?.
5?a1?a5?29?a1?a9?26．选A. 【解析】∵S5??5a3，S9??9a5，
∴S5:S9?5a3:9a5?1:3.
7．选B.【解析】f?x??a?bx+?b?a222?x?a?b，当a?b时，f?x???b2?a2?x
未必是一次函数，但当f?x?为一次函数时，有a?b且a?b．
1???1?4???1?258．（文科）选B.【解析】由几何概型知P??．
（理科）选B.【解析】S阴影=?10?x?x132??2313?1?21?1dx??x2?x??????0?，由
33?3?0?33?几何概型知点落入阴影部分的概率为，故
mn的值会稳定于
13．
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9． 选B.【解析】∵x?0，且y??1x?1e，∴当x??0,e?，y??0，函数递增；x??e,???，
xey??0，函数递减.而x?e时y?0，∴函数y?lnx?的零点只有1个，即x?e.
10．选C.【解析】与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线可分为两类：①截距为0时，
可设直线方程为y?kx，由2kk?12?1，解得k??33；②截距不为0时，可设直线
方程为x?y?a，由2?a2?1，解得a?2?2．因此符合题意的直线共有4条．
11．（文科）选D.【解析】y?2sin?3x????????2cos3x，其图象向左平移?个单位得到
2?函数y??2cos?要使其为奇函数，只需cos?3???0，?3?x???????2cos?3x?3??，即3??小值
?6?2?k??k?Z?，∴???6?k?3?k?Z?，又??0，∴当k?0时，?取最
．
4（理科）选B.【解析】由题知：令x??1时有?1?m??81(m?0)，解得m?2， ∴a1?C4?114?1???2???8．
112．选D.【解析】如图，∵AB?AC，∴C?B，在AB上取一点D
使BD?CD?x，则题中的角?C?B?可用?ACD表示．
2?x??3?x?2?2?x154222∴在△ACD中，cos?C?B???78，
解得x?2，于是cosA?14，sinA?．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13． 填3.【解析】∵2a?8，?ac54，∴c?5，b?3，不妨设双曲线方程为
x216?y29?1，
由对称性知，焦点?5,0?到渐近线3x?4y?0的距离d?3． 14．填2012.【解析】经过n次循环，a?2，b?3n?3，∴n?11时，
c?211n??3?11?3??2012．
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15．填1.【解析】由题知：O是A1C的中点，又?A1OB?60，∴在Rt△A1BC中，
?BA1C?60，∴A1B???BCtan60??ADtan60??3，AA1?A1B?AB322?278 9?8?1． ?3.375．
16．（文科)填
278.【解析】f??1.5??f??0.5??f?0.5??f?1.5??1.5?（理科)填0.25.【解析】由题设知f??1.5??f(?1.5?2)?f(0.5)?0.25，
f(1)?f(?1)??f(1)?f(1)?0．故f?1??f??1.5??0.25．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分） （文科）
黑球记为a，白球记为b1,b2，红球记为c1,c2,c3，按游戏规则可以表示为：
?a,b1?，?a,b2?，?a,c1?，?a,c2?，?a,c3?，?b1,a?，?b1,b2?，?b1,c1?，?b1,c2?，?b1,c3?，?b2,a?，?b2,b1?，?b2,c1?，?b2,c2?，?b2,c3?，?c1,a?，?c1,b1?，?c1,b2?，?c1,c2?，?c1,c3?，?c2,a?，?c2,b1?，?c2,b2?，?c2,c1?，?c2,c3?，?c3,a?，?c3,b1?，?c3,b2?，?c3,c1?，?c3,c2?．则基本事件共30个，
∴（1）“甲、乙配对成功”的概率P?830?415； …6分
1830?35 （2）甲、乙两人中至少有一人摸到白球的概率P?（理科） （1）P?26?15?36?25?830?415． …12分
； …5分
（2）?的可能取值是0，1，2．
?=0时同问题（1），即P???0??415122321328P??=1??????????；
656565651513311P??=2??????．
65655；
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∴?的分布列为
? 0 2 1
∴ E?=0?
18．（本小题满分12分）
（1）∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，∴AB?AA1．
又AB?AC，∴AB?平面ACC1A1，
而A1C?平面ACC1A1，∴AB?A1C； …6分 （2）（文科）
?AA1=AC?3AB?3，∴A1B?BC?1?2P 415 815 15 415+1?815+?2114=． …12分 515?3?2?2，A1C??6?22????2????1226．
102 取A1C的中点D，连结BD，则BD?A1C，∴BD?1212102152．
∴S?ABC?1A1C?BD??6??，S?ABA?S?ABC?1?1?3?32，
S?AA1C?12?3?3?32，故 S三棱锥A?ABC?13+32+152． …12分
（理科）
????如图所示，建立空间直角坐标系A?xyz，可取m?AB?(1,0,0)为平面ACA1的
????一个法向量．设平面A1BC的一个法向量为n?(l,m,n)．则BC?n?0，??????????????A1C?n?0，其中BC?(?1,3,0)，A1C?(0,3,?3)，
??l?3m,???l?3m?0,∴?∴? 不妨取m?1，则n?(3,1,1)． ??n?m.?3m?3n?0.?cos?m,n??m?nm?n?21?23?0?1?0?12?22155．
1?0?0?(3)?1?12∴二面角A?A1C?B的余弦值的大小是155． …12分
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19．（本小题满分12分）
????????????????（1）由已知AB?BC?AB?BCcos??1，
????????∴AB?BC?????0，∴???0,?， cos??2?1?????1???又S?AB?BCsin????2??1212cos?32?1?sin??12tan?，
由已知
12?S?32，∴
12?tan??，即1?tan??3，
而???0,????2??，所以???????,?． …6分 43????????????3???1???3AB?AB?BCsin??????BC?（2）由已知S?， 422sin?????????????????????2代入AB?BC?AB?BCcos??1中，得AB?tan?．
3在△ABC中，由余弦定理得：
????AC2?????AB2?????BC22?????????2AB?BCcos??????????AB2?????BC2?2
?49tan??94sin?2?2?249tan??294tan?2?2?94
9252339?2?22??tan????tan???≥，当且仅当， ?4432tan?32tan?4??????5即tan??时，等号成立，此时AC的最小值是． …12分
223
20.（本小题满分12分）
（1）?点0,3不满足y?2px，∴0,3在椭圆
??2??xa22?yb22?1上，∴b?3，
2由椭圆性质知：y≤b?3，而22??1?3，∴点?,22?在抛物线上，
?2?由22??2?2p?12，解得 p?8．
?3?????2?32又点?1,???3?1只能在椭圆上，∴??22?a?1，∴a?4，
2∴椭圆的方程为
x24?y23?1，抛物线的方程为y?16x． …6分
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