（2）（文科）
当直线PQ的斜率不存在时，P、Q两点关于x轴对称，显然有
?PF1F2??QF1F2 成立；
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y?k?x?1?且k?0，
??y?k?x?1?,??y?16x,2由? 消去y得：kx?2?k?8?x?k?0，
2222设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，则x1?x2?2?而直线PF1、QF1的斜率分别为kPF?116k2,x1x2?1．
y1x1?1?k?k?x1?1?x1?1，kQF?1k?x2?1?x2?1．
于是 kPF?kQF?11k?x1?1?x1?1?k?x2?1?x2?1?x1?1??x2?1???x1?1??x2?1?
x?1x?1?1??2? ?2kx1x2?1?x1?1??x2?1??0．
不妨设kPF?tan?PF1F21?y1?0?，则kQF1?tan????QF1F2?，
∴tan?PF1F2??tan????QF1F2??tan?QF1F2．
则?PF1F2??QF1F2． …12分 （理科）
设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，又A??2,0?，B?2,0?，联立直线AP，BQ的方程
y1?y??x?2?,?x?22?2x1x2?3x2?x1??1消去y得 x? （*） ?3x?x?4y122?y??x?2?.?x2?2??y?k?x?1?,?22222y4k?3x?8kx?4k?12?0． 由?x2消去得 ??y??1.?3?42?8k6x?x????2?,2?122?4k?34k?3则? 消去k得2x1x2??8?5?x1?x2?． 215?xx?4k?12?1?.1222?4k?34k?3?2012年高三年级第一次诊断性测验文理科数学参考答案 第 6 页 （共 8 页）
代入（*）得 x?2???8?5?x1?x2??3x2?x1??3x1?x2?4?2??6x1?2x2?8?3x1?x2?4??4．
∴两直线AP、BQ的交点在抛物线的准线x??4上． …12分
21.（本小题满分12分） （1）显然x?a4，因此
a4?1???,1?，∴a?或a?4．
34?3?f??x???a?4x?a?2??1??． x???3,1???????1???当a?0时，易知f??x??0，或f??x??0，则f?x?在?,1?上单调．所以
3由题意f?104?1?a?，解得，或（舍去）． ?f1?a?1???333??当a?0时，f?x??14不合题意．
x4x?1综上：a?1，∴f?x?的解析式为f?x??（2）由（1）知：f??x???1． …6分
?4x?1?2?0，于是f?1?在x???,1?上单调递减，则 ?3?13?f?1?≤f?x?≤f?1????1，即f?3??x????1?,1?． ?3?13由题意可知：即要使x??0,1?时满足gmin?x?≤
22，且gmax?x?≥1．
而g??x??3x?3b≥0，故g?x?在?0,1?上单调递增． ∴gmin?x??g?0??2b≤解得 b≤?2313，且 gmax?x??g?1??1?3b?2b≥1．
162，或0≤b≤． …12分
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 （1）连结OD，?BC?AB，∴BC?OB． 2?CD是?O的切线，∴在Rt△OCD中，DB是斜边OC上的中线．
22012年高三年级第一次诊断性测验文理科数学参考答案 第 7 页 （共 8 页）
1AB，又OB?1
∴DB?OB?OD，∴?BOD?60， ∴?A?12?BOD?30； …5分
??（2）由题意知：B、C、E、D四点共圆，∴?C=?E．
由（1）知：BC=BD，∴?BDC=?C，而DC是?O的切线，
∴弦切角?BDC=?A， ∴?A=?E．∴BE=BA． …10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
????（1）设点Q?x,y?，P?x1,y1?，则由已知：PQ??x?x1,y?y1????1,1?
?x?x1??1,?x1?x?1,?x1?1?cos?,?? 而P?x1,y1?满足? 故得： ?y?y?1.y?y?1.y?sin?.?1?1?1?x?cos?,（?为参数）为所求曲线C2的方程； …5分 ??y?1?sin?.（2）曲线C1的极坐标方程为??2cos?，
? 3,?0在曲线C1上，所以3?2cos?0．
?2??0代入曲线C2的极坐标方程中，
?曲线C2的极坐标方程为??2sin?， 将??得 ??2sin??????0??2cos?0??2?3，即OA???3． …10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）不等式可化为：x?2≥1，解得 x≥?1，或x≤?3．
故不等式f?x?≥1 的解集为?x|x≥?1，或x≤?3?； …5分 （2）由f?x?≥2x?3，得 x?a≥2x?3．可化为不等式组
3?3x?,???2x?3?0,?2x?3?0,?x?,?2或? 即?或? 2??x?a?2x?3.?x?a?3?2x.?x?3?a.?x?1?a.??3? ?a?0，∴不等式组的解集为{x|1?a3≤x≤3?a?．
a?1??0,?依题意令? 解得a?3． …10分 3?3?a?6.?以上各题的其它解法，限于篇幅，从略．请相应评分.
2012年高三年级第一次诊断性测验文理科数学参考答案 第 8 页 （共 8 页）