河南工程学院本科毕业设计(论文) 第1章 绪论
1.1选题的背景和意义
众所周知，有很多成功的方法来构造微分方程的显式解，例如：散射变换、Darboux变换、Hirota直接法、algebra-geometrical方法等等。准周期性解或algebra-geometrical解可以借助于 algebra-geometrical方法获得，然而他们解的形式复杂可以借助于黎曼曲面和Abel-Jacobi函数。Hirota直接方法提供了一个强有力的方法来构造非线性方程的精确解，一旦通过因变量变换以双线性形式写入非线性方程，则可以获得多孤子解和有理解。Nakamura在1979年和1980年提出了单周期波解和基于Hiorta的双周期波解，借助Riemann theta函数。其中得到KdV和Boussinesq方程的周期解，这种方法的重要优势在Dai et al首次被证明。对于KP方程，可以明确地绘制解分布图，并且通过使用合适的渐近极限，可以从准周期解推导多分散解。这种程序在Dai et al中有介绍，并被其他作者用来研究用大量孤子方程来构造准周期性解。
1.2国内外发展现状
关于Toda晶格问题已经进行了大量的调查研究。Nakamura研究关于（3+1）-维Tode方程，此方程的解是一系列的Bessell函数的级数展开式的表达式形式。Krichever和Vaninsky得到了周期和开放Toda晶格之间的关系。此外algebra-geometrical方法关于开放Toda晶格是发展的。对于开放Toda格代数几何方法的开发，基于李超代数方法，这是超级Toda晶格和超KdV方程有一定关系发现.Baleanu和Baskal讨论了个Lax方程的张量形式和Cartan挠率张量的几何形式存在的透明。此外，给出了Toda晶格的Lax张量方程的解。Baleanu等人提出了Killing张量和Lax算子之间的联系，并详细分析了Toda晶格方程的应用，Ito和Locke研究了仿射Toda场方程，并得出了一些有趣的解。Mahmood通过使用Darboux变换得到NC Painleve方程的准决定性解，其中Toda解在n = 1处。Klein和Roidot提出了对于双曲线和椭圆形情况的波长极限（2 + 1）维度Toda的数值研究。Wu等人将离散小数演算的工具引入到扩散问题的离散建模中，并且提出了在Caputo方法中的小数时间离散扩散的模型李构建了一个新的q变形的Toda层次的双线性方程和
2
河南工程学院本科毕业设计(论文) tau函数的Sato理论。此外，详细研究了多组分延伸作者研究了周期性Toda链的动力学的渐近线，其中具有大量等质量的粒子的初始数据接近平衡。Wu等人提出了晶格分数扩散方程，并且作为应用，讨论了各种差分阶数。
1.3 课题理论基础介绍
对于二维Toda晶格方程：
?ux,y,n?1??ux,y,n?1??ux,y,n?uxx?x,y,n??iuyy?x,y,n??e??e??2e??0(1.1)
Nakamura【31】发现新的类型精确解（ripplon解，新的解反映了系统的基本多维度的影响事实上，方程（1.1）是修正拉普拉斯方程的离散化形式。（参考【31】）
uxx?iuyy?uzz?0 (1.2)
在本文中，我们采用了戴等人提出的方法，【13】在方程（1.1）的Riemannθ函数中直接构造周期波解通过进行合适的渐近分析，获得并导出单周期和双周期解。此外，我们绘制一些解的曲线来详细分析解。
1.4 本文结构
本论文的结构如下，在第二章中，我们得出了2D Toda格方程的双线性形式。在第三章中给出了一阶周期波解和渐近性。在第四章中，我们得到双周期波解及其渐近性。类似于第三章，虚部的一些解曲线将被丢弃。
第2章二维Toda格方程的双线性形式
我们考虑方程
?ux,y,n?1??ux,y,n?1??ux,y,n?uxx?x,y,n??iuyy?x,y,n??e??e??2e??0 (2.1)
通过作如下变换：
?ux,y,n2e???1?x?2?y?lnf?x,y,n?, (2.2) xy??方程（2.1）具有双线性形式：
?j?kjx??jt??jn,j?1,2
GDX,DY,coshDnf?x,y,n??f?x,y,n?????DX?iDY?2conshDn?2?c?f?x,y,n??f?x,y,n??022?? (2.3)
3
河南工程学院本科毕业设计(论文) 其中c?c1nx?c2ny?c3n，这是由于积分的结果。在文献【4】中对Hirota 双线性微分算子做了如下定义：
??????DxyDxya?x,y??b?x,y???x??x?差分运算符被定义为：
??a?x,y??b?x?,y??|x??x,y??y,
meDnan?bn?an?1bn?1; e?Dnan?bn?an?1bn?1,
conshDnan?bn?1Dn1e?e?Dnan?bn??an?1bn?1?an?1bn?1? 22??从Hirota算子的定义我们可知关系：
12
mDxmDtle??e???k1?k2?j??1??2?e?1??2,
l其中?j?kjx??jt??n,j?1,2此外，我们很容易推导出关系：
conshDne??e??consh??1??2?e?121??2, （2.4）
1??2
G?Dx,Dt,conshDn?e??e??G?k1?k2,?1??2,?1??2?e?12, （2.5）
第3章一维周期波解和渐进性
3.1一维周期波解
我们假设2D-Toda格方程的双线性形式的Riemann theta函数解为：
f?k?????e2?ik???ik, (3.1)
2?其中k?k1,...,kN,???1,...,?N,?是一个对称矩阵，且
????Im??0,?i?pjx?liy??jm??0,j?1,...,N
我们考虑N = 1的情况，则（3.1）变为：
f?
k?ZN??i?k,k?2?i?,ke????,(3.2)
为了使上述形式可以成为一个解，p，l，?可以不是独立的，我们继续找到他们的关系 将（3.2）代入（2,3）再用（2,4）-（2.5）我们可以得到：
4
河南工程学院本科毕业设计(论文) ?Df?f?????kk,????G?Dx,Dy,conshDn?exp2?ik???ik2??exp2?ik????ik?2?????2?k???,m???G?Dx,Dy,conshDn?exp2?ik???ik2??exp2?i?m?k????i?m?k??????2
?kk???G2?i?2k?m?p,?2?i?2k?m?l,consh?2?i?2k?m????exp2?im???i?k2??k?m?????????,?????0,????G?m?exp?2?im???m其中引入了新的求和指数m?k?k?，Gm被定义为：
??
G?m??G?2?i?2k?k??????m?p,?2?i?2k?m?l,consh??2?i?2k?m????（3.3）
2?exp?i?k2??k?m???????在等式（3.3）中，令k?k??1 ，我们可以得到：
G?m??G?2?i?2k???m?k?????2?p,2?i2k???m?2?l,consh?2?i2k???m?2???????????
2??exp?i?k?2?k???m?2???exp??2?i?m?1?????????G?m?2?exp??2?i?m?1????...???G?0?e?im??m??1??,m?是偶数? （3.4） ???i?m?+1??m?+2???,m?是奇数?G?1?e这个关系意味着如果有G0?G1?0， 此时就有Gm??0,m??Z
通过这种方式，我们可以得出：
??2????G?0??G?1??16?k?xp???22?????yl2?4sinh2?2?i?k??c?exp2?ik2??????0,（3.5）
（3,6）
exp?ik2??k?1??2????4?2?2k?1?2xp2?yl2?4sinh22?i??2k?1??c???????????????0,?12表示?1k???exp2?ik2?, ?2?k??exp?ik2??k?1??,
2??????a11??16?k??k?, a221??????1?k?,
b1??k4sinh2?2?i?k??1?k?, a21?????k???4?2?2k?1??2?k?,
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河南工程学院本科毕业设计(论文) a22???k?, b?k2????2??k????4sinh22?i?2k?1???2?k?,
??那么等式（3.5） - （3.6）简化为：
a11xp2?yl2?a12c?b1?0, （3.7） a21xp2?yl2?a22c?b2?0,（3.8）
解决系统，我们有
????b1a22?b2a12 （3.9） xp?yl?a21a12?a11a2222
c?b2a11?b1a21 (3.10)
a21a12?a11a22系数p，l和u需要满足（3.8），并且比照着（3.2）和（2.2）给出单周期解。
3.2单周期波解的渐近性
众所周知,2D Toda格方程的的孤子解可以作为周期解的极限。为此，我们将q?exp?i?和极限写为q?0(或???)。 定理1当q?0时，（2.1）的周期解（3.1）倾向于通过（2.2）的孤子解。 e?u?x,y,n?2222?1?x?2?y?lnf??4?xp?ylxy????4?2cos2???1?2cos2???2,(3.11)
其中p?il22??sin2?2????2 ，且??px?ly??n??0
证明指出q?exp?i?时，此时定义的量化在q的幂中扩展为：
a11?16?22q2?8q8????,
??a12?1?2q2?2q8????,
b1?8q2sinh2?2?i???8q8sinh2?4?i??????,
a21?8?2q?72?2q5????,
a22?2q?2q5?2q13????,
b2?8sinh2?2?i??q?4sinh2?6?i??q5????,
a12a21?a22a11?8?2q?48?2q3?oq3,
??6