河南工程学院本科毕业设计(论文)
b1a22?b2a12??8qsinh2?2?i???o?q?,
b2a11?b1a21?192q3sinh2?2?i???oq3,
此时，当q?0时，有c?0，因此
???p?il??22?sinh2?2?i???2??sin2?2???2.
单周期波解（2.1）当q?0收敛到
fn?1?exp?2?i??exp2?i???i?????,
fnx?2?ipexp?2?i???i??exp2?i???i?, fnxx??4?2p2exp?2?i???i??exp2?i???i?,
????fny?2?ilexp?2?i???i??exp2?i???i?, (3.12)
fnyy??4?l22???exp?2?i???i??exp2?i???i?.
?经过一些繁琐的计算，我们得出（3.11）
第4章双周期波解及其渐近性
在下文中，我们考虑了（2 + 1）维Toda晶格方程（2.1）的双周期波解，它是单周期波解的二维推广。
4.1构建双周期波解
现在我们来构建2D Toda格方程的双周期波解。令式（3.1）中的设N = 2并将其代入式（2.3）中，我们有
G?fn?fn???k1,k2?z2?G?Dx,Dy,coshDn?e2?i?,k1??i?k1,k1?e2?i?,k2??i?k2,k2k1,k2?Z?2G?2?ik1?k2,p,2?ik1?k2,l?exp?2?i????,k1?k2??i?k1,k2??exp2?i?,k2??i??
??k,k12??k1,k1s??Z?S?G?2?i2?2k1?s?,p,2?i2k1?s?,l????7
河南工程学院本科毕业设计(论文) ?exp?i??k1?s??,k1?s???k1,k1??exp?2?i?,s??
?s??Z2?G?s?,s??exp2?i12?,s??0,（4.1）
??被定义为: k2?s? ，G?s1?,s2其中引入了新的求和指数k1??,s2???G?s1
?kk?1,2???G?2?i2k1?S?,p,2?i2k1??S?,l?
?exp?i??k1?s??,k1?s?,?k1,k1
??22????2?jl?pj,2?i?2kj???sj??2?jl?lj???G?2?i?2kj???sjk1,k2???j?1j?1???????exp?i
??k???jjl,?12??jl??jl?kj???jl????s
j?2?jl?kj????jl??jk?sj?2?jl?kj????jl????G?S??2,S??e2?i?s1??1??11?2?is2??1212??? (4.2)
??1??22?2?is1??122?i?s2??G?S1?,S2??2?e这种关系意味着，如果G0,0?G0,1?G1,0?G1,1?0,
表示?jn那么GS1?,S?2???????????0 ，
??Z S1?,S2???i?n?m?,n?m????i??m,n??e?
?xp12?yl12??2?2?xp?yl2?A?2???b,
?xp1p2?yl1l2??c????1?214??0,0?,m????1,0?,m????0,1?,m????1,1?,并且矩阵A和向量b的元素
在这里m是：
aj1??n?n2???1,?2?i2n1?m1??j?n????4???n,n???j12??2?2?2n1?m1?j?n?,
j?2aj2??n?n2???1,j??2?i2n2?m2?n???4?22n1?m1j?j?n?, ??j??n,n???12??2???28
河南工程学院本科毕业设计(论文) aj3?
?2?i??2n?nn2???1,??21?m1j??2n2j?m2?j?n??
????n4?22n1?m1jn2???1,???2n2j?m2?j?n?,?aj4??n?j?n?,
n2???1,
bj??4n1,n2?????sinh?i?1, ?2?2n?m?,??j?n?, ???1,?2.
?2那我们有xp1?yl12?2xp2?yl22??3?1?4?,, xp1p2?yllc?, (4.3) 12???其中??detA,
并且
?1,?2,?3,?4是从?替换列1-4与b
4.2双周期波解的渐近性
2D Toda格方程的双孤子解可以作为双周期解的极限来获得。 定理2假设1 ?r1 ?2和1 ?r2 ?2是满足?1r1?0和?2r2?0的常数（下面给出
?1,?2的定义）. 那么等式（2.1）的周期解（3.1）通过等式（2.2）趋向于孤子解.
2e?un?1?x?2?y?lnfn?xy???xp21?yl12e?11?e?2?e2?2?A12?e?2?A12???1?
xp??22?yl22e?21?e?1?e2?1?A12?e?1?A12???1?1?e??e?2?e?1??2?A12?2?1?e?1?e?2?e?1??2?A12?2?2xp1p2?yl1l2e?1??2ea12?1?????1?e2?e?2?e?1??2?A12?2并限制:p1?il12?sinh2?1, (4.5)
2?xp12?p2?yl12?l22?2xp1p2?yll?2sinh??1??2??2122122?exp?A???x?p12?p????y?l21?l22????2?xpp9
12??yll??2sinh??121??2??2,(
河南工程学院本科毕业设计(论文) 4.6) 其中
A12?2?I?12
通过数量来证明：
Pj?2?ipj,lj?2?ilj,11?j?pjx?ljy??jn??0j2212
?0j?2?i?0???jj,j?1,2 ?1?e?i?, ?2?e?i?,?3?e2?i?,
我们以下列形式扩展了双周期波解（3.1）（N = 2）：
fn?1?exp?2?i?1??i?11??exp??2?i?1??i?11??exp?2?i?2??i?22??exp??2?i?2??i?11??exp2?i??1??2???i??11?2?12??22?
???exp?2?i??1??2???i??11?2?12??22??????1?exp?1?exp?2?exp??1??2?2?i?12???12exp???1???22exp???2???12?22exp???1??2?2?i?12????????1?exp?1?exp?2?exp??1??2?A12?. (4.7)
我们现在验证公式（4.5）和（4.6）。 为此，我们将G?0,0??G?0,1??G?1,0??G?1,1??0中的每个函数扩展为?1和?2的系列. 我们只需要用?1和?2进行一阶扩展来显示渐近关系（4.5）和（4.6）。在这里，我们保留二阶项，以便看到两个周期解和双孤子解的参数之间更深的关系。 由
G?0,0???16?2xp12?16yl12?4sinh2?2?i?1??c?122??16?2xp2?16yl22?4sinh2?2?i?2??c?22?????G?0,0???16?2xp12?16yl12?4sinh2?2?i?1??c?12??16?2x?p1?p2??16?2y?l1?l2??4sinh22?i??1??2??cs2?c???1s1?2??（
?22??????222123???0?4.8?22222其中s1?s2?4,当?1?0, ?2?0, 我们得到c?0。由
G1,0??4?xp1?4?yl1?4sinh?i?1?c?1???11?22其中s1??????ss??0, (4.9)
s2?3,由c?0，我们得到渐近关系：
24?2xp12+yl12+4sinh2?i?1?0,p1+il12=sinh2?1（4.10）
??10
河南工程学院本科毕业设计(论文) 由
s2G?0,1???4?2xp2?4?2yl22?4sinh2?i?2?c?2???1s?21???2??0, （4.11）
其中s1?22s2?3,由c?0我们得到渐近关系：
222+il22?+4sinh2?i?2?0,p2?2 4?2?p2+il22=sinh2?2 （4.12）
p2+il2=sinh由
??12G?1,1??2?-4?2xp12+yl12-4xp22+yl22-8?2?xp1p2+yll-4sinh2??i??1??2???c??3+?-4?2xp12+yl12-4?2xp22+yl22?8?2?xp1p2+yll-4sinh2???1212????i??1??2???c?????????1s1?2s2?0,???????????? （4.13） 其中s1?
s2?5,因为c?0，我们得到渐近关系：
eA1224?2xp12?yl12?4?2xp2?yl22?8?2?xp1p2?yll?4sinh2??i??1??2??12????2?4?2xp12?yl12?4?2xp2?yl22?8?2?xp1p2?yll?4sinh2?12???i??1??2??????????
（4.14）
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