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2012年高考数学总复习之函数综合训练（附答案）
1、（2009澄海）已知二次函数f(x)?ax2?bx?cx，不等式f(x)??2x的解集为(1,3)． (Ⅰ)若方程f(x)?6a?0有两个相等的实根，求f(x)的解析式； (Ⅱ)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．
2、（2009广东揭阳）设定义在R上的函数f (x)＝a0x+a1x+a2x＋a3x (a i∈R，i＝0，1，2，3 )，当x＝－时，f (x)取得极大值
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，并且函数y＝f? (x)的图象关于y轴对称。 3
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3
2
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（1）求f (x)的表达式；
（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；（3）求证：|f (sin x)－f (cos x) | ≤
3、（2009广东揭阳）已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上。
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(x∈R)． 3
（Ⅰ）、求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）、设bn??m3，求使得Tn?Tn是数列{bn}的前n项和，
20anan?1对所有n?N都成立的最小正整数m。
4、（2009广东东莞）已知函数f?x??log2ax ?a?0,a???1??， 2?222（1）若f?x1x2?x2008??8,求fx1?fx2???fx2008的值.
??????（2）当x???1,0?时，g?x??f?x?1??0,求a的取值范围.
(3)若g(x)?f?x?1?,当动点p?x,y?在y?g?x?的图象上运动时，点M??xy?,?在函数3?2?y?H?x?的图象上运动，求y?H?x?的解析式.
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5、（2009广东东莞）已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x)?f(1?x)? （Ⅰ）求f()和f()?f(1. 2n?1)(n?N*)的值； n12n?1)?f(1)，求列数{an}的通项公 （Ⅱ）若数列{an}满足an?f(0)?f()?f()???f(nnn式；
（Ⅲ）若数列{bn}满足anbn?等式2kSn?bn恒成立.
6、（2009广州海珠）已知f?x??xlnx,g?x??x3?ax2?x?2 (Ⅰ)求函数f?x?的单调区间;
(Ⅱ)求函数f?x?在?t,t?2??t?0?上的最小值;
(Ⅲ)对一切的x??0,???,2f?x??g'?x??2恒成立,求实数a的取值范围.
121n1,Sn?b1b2?b2b3?b3b4???bnbn?1，则实数k为何值时，不4x?R，7、（2009广东湛江）已知函数f(x)?ax2?bx?1 (a,b为实数)，F(x)??
(1)若f(?1)?0,且函数f(x)的值域为[0, ??)，求f(x)的表达式；
? f(x) (x?0).
?f(x) (x?0)? (2)在(1)的条件下，当x?[?2, 2]时，g(x)?f(x)?kx是单调函数，求实数k的取值 范围；
(3)设m?n?0，m?n?0,a?0且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)能否大于零.
8、（2009广州（一）已知二次函数f(x)?ax2?bx?c,直线l1:y??t2?8t,其中(0≤t≤2，t为常数）；
l2:x?2.若直线l1、l2与函数f (x)的图象以及l1，y轴与函数f (x)的图象所围成的封闭图形如阴影所
示.
（Ⅰ）根据图象求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式；
（Ⅲ）若g(x)?6lnx?m,问是否存在实数m， 使得y=f (x)的图象与y=g (x)的图象有且只有两个不同的交点？ 若存在，求出m的值； 若不存在，说明理由．
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9、（2009广东深圳）若定义在R上的函数f?x?对任意的x1,x2?R，都有
f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1成立，且当x?0时，f(x)?1。
（1）求证：f(x)?1为奇函数； （2）求证：f(x)是R上的增函数；
（3）若f(4)?5，解不等式f(3m2?m?2)?3．
??210、（2009广东揭阳）已知向量a?(x?3,1),b?(x,?y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|?2????时，有a?b，当|x|?2时，a//b．
(1) 求函数式y?f(x)；
（2）求函数f(x)的单调递减区间；
（3）若对?x?(??,?2]?[2,??)，都有mx?x?3m?0，求实数m的取值范围．
211、（2009广东揭阳）已知函数f(x)?(x?1),g(x)?k(x?1)，函数f(x)?g(x)其中一个零点为5，
2数列{an}满足a1?k，且(an?1?an)g(an)?f(an)?0． 2（1）求数列{an}通项公式； （2）试证明
?ai?1ni?1?n；
n?1（3）设bn?3f(an)?g(a)，试探究数列{bn}是否存在最大项和最小项？若存在求出最大项和
最小项，若不存在，说明理由．
12、（2009广东潮州）已知A(x1,y1),B(x2,y2)是f(x)?1x?log2的图象上任意两点，设点21?x1M(,b)，
2n?11i?且OM?(OA?OB)，若Sn??f()，其中n?N，且n?2。
2ni?1 - 3 -
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（1）求b的值； （2）求Sn； （3）数列{an}中a1?21，当n?2时，an?，设数列{an}的前n项和为Tn， 3(Sn?1)(Sn?1?1)?求?的取值范围使Tn??(Sn?1?1)对一切n?N都成立。
13、（2009广东潮州）抛物线y?g(x)经过点O(0,0)、A(m,0)与点P(m?1,m?1)，其中
m?n?0，
b?a，设函数f(x)?(x?n)g(x)在x?a和x?b处取到极值。
（1）用m,x表示y?g(x)；
（2） 比较a,b,m,n的大小（要求按从小到大排列）；
（3）若m?n?22，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y?f(x)均相切，求y?f(x)。
214、（2009珠海期末）已知?,?是方程4x?4tx?1?0(t?R)的两个实数根,函数f(x)?2x?t的2x?1定义域为[?,?].
(1)判断f(x)在[?,?]上的单调性,并证明你的结论; (2)设g(t)?maxf(x)?minf(x),求函数g(t)的最小值.
15、（2009珠海期末）已知函数f(x)?x?ax?b(a,b?R),不等式|f(x)|?|2x2?4x?30|对
2?x?R恒成立,数列{an}满足:a1?足:bn?1*, 2an?f(an?1)?15(n?2,n?N), 数列{bn}满21(n?N*);
an?2(1)求a,b的值;
(2)设数列{bn}的前n和为Sn,前n的积为Tn,求Sn?2n?1Tn的值.
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祥细答案：
1、解：（Ⅰ）∵不等式f(x)??2x的解集为(1,3)
∴x?1和x?3是方程ax2?(b?2)x?c?0(a?0)的两根 -----------1分
? ∴?b?2??a??4?c -----------2??a?3 ∴b??4a?2,c?3a -----------3 又方程f(x)?6a?0有两个相等的实根
∴??b2?4a(c?6a)?0 -----------4 ∴4(2a?1)2?4a?9a?0 ∴(5a?1)(1?a)?0
∴a??15或a?1（舍） -----------5∴a??1635,b??5,c??5 -----------6 ∴f(x)??1635x2?5x?5 -----------7（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?ax2?2(2a?1)x?3a
?a(x?2a?1(2a?1)2a)?a?3a ??a2?4a?1a -----------9 ∵a?0，
∴f(x)的最大值为?a2?4a?1a -----------11∵f(x)的最大值为正数
?a?0 ∴????a2?4a?1?a?0
∴??a?02解得a??2?3或?2?3?a?0 -----------13?a?4a?1?0 ∴所求实数a的取值范围是(??,?2?3)?(?2?3,0) -----------14 - 5 -
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