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2、解：∵f? (x)＝4a0x3＋3a1x2＋2a2x+a3为偶函数，∴ f ?(?x) = f ?(x),
∴ ?4a0x3 +3a1x2 ?2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3, ∴ 4a0x3 + 2a2x =0对一切x ? R恒成立， ∴ a0＝a2＝0，∴f (x)＝a1x3＋a3x
又当x＝－
22时，f (x)取得极大值 23
?f(－ 22)＝32，?a＝2，?23∴? 解得?∴f (x)＝x－x，f? (x)＝2x－1 4分
32?a＝－1，?f ? (－ )＝0，?2
13
3
2
⑵解：设所求两点的横坐标为x1、x2 (x1 < x2)，则(2x12－1)(2x22－1)＝－1 又∵x1，x2∈[－1，1]，∴2x12－1∈[－1，1]，2x22－1∈[－1，1] ∴2x12－1，2x22－1中有一个为1，一个为－1，
? x = ?111? x1=0
∴? x=1 或 ?1 ，∴所求的两点为(0，0)与(1，－)或(0，0)与(－1，)。 ?233? x2=0
⑶证明：易知sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]。 当0< x <
22
时，f ? (x) < 0；当 < x < 1时，f ? (x)>0。 2222
]为减函数，在[，1]上为增函数， 22
221
)＝－ ，f (1)＝－，而f (x)在[－1，1]上为奇函数， 233
222
，最小值为－，即 | f (x) | ≤ , 333
∴f (x)在[0，
又f (0)＝0，f (
∴f (x)在[－1，1]上最大值为
∴| f (sin x) | ≤
2 2 22
，| f (cos x)| ≤ ， ∴| f (sin x)－f (cos x)| ≤ | f (sin x)|＋| f (cos x) | ≤ 333
3、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－（3n?1)?2(n?1)＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）
??2? - 6 -
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（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?11133?)， ＝＝(anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1故Tn＝
?bi＝
i?1n12111111?1?＝（1－） (1?)?(?)?...?(?)??26n?177136n?56n?1??因此，要使
11m1m（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，26n?120220所以满足要求的最小正整数m为10.
4、解：（1）?f?x1x2?x2008??log2a?x1x2?x2008??8,
222f?x12??f?x2 ????f?x2008??log2ax12?log2ax22???log2ax200812＝log2a?xx?x2008?2?2log?2a12xx?x2008??16………………………..5分
（2）g?x??f?x?1??log2a； 设u?x?1,x???1,0?时，u??0,1?；
?x?1??当u??0,1?时，logu2a?0,?0?2a?1,?0?a?即所求a的取值范围为?0,?……………….9分 (3) g?x??f?x?1??log2a;
?x?1?1； 2??1?2?x?u???3?x?3u,??设M?u,v?,则?；………………………11分
?v?y?y?2v??2?p?x,y?在y?g?x?上运动，?2v?log?23au?1?,
1?v?log?23au?1?..................................13分21?3x?1?即所求函数的解析式为H?x??log2a……………………14分
2111111?f()? 5、解：（Ⅰ）令 x?，则f()?f(1?)?，22222411111n?11)? …………4分 令 x?，则f()?f(1?)?，即f()?f(nnn2nn2 - 7 -
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2n?1)?f(1) ①
nnn?1n?21)?f()???f()?f(0) ② ∴an?f(1)?f(nnn1n?11)? 由（Ⅰ），知 f()?f(nn21n?1. ………………8分 ∴①+②，得2a?(n?1)?.?an?24n?111,anbn?,?bn?（Ⅲ）∵an? 44n?1（Ⅱ）∵an?f(0)?f()?f()???f(∴Sn?b1b2?b2b3?b3b4???bnbn?1
1n11111111?????????233445n?1n?2
11111111?(?)?(?)?(?)???(?)233445n?1n?2??11n?? 2n?22(n?2)kn1kn2?(1?k)n?2………………………………12分 ?2kSn?bn???n?2n?1(n?1)(n?2)由条件，可知当kn?(1?k)n?2?0恒成立时即可满足条件 设f(n)?kn?(1?k)n?2
当k＞0时，又二次函数的性质知kn?(1?k)n?2?0不可能成立 当k=0时，f（n）=－n－2＜0恒成立； 当k＜0时，由于对称轴直线n??222?(1?k)111???? 2k2k22∴f（n）在[1,??)上为单调递减函数
∴只要f（1）＜0，即可满足kn2?(1?k)n?2?0恒成立 ∴由f(1)?k?(1?k)?2?0,得k?3,又k?0，∴k＜0 2综上知，k≤0，不等式2kSn?bn恒成立………………………………14分 6、(Ⅰ)f(x)?lnx?1,令f''?x??0,解得0?x?1,
e?1??f?x?的单调递减区间是?0,?;……2分
?e?
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1?1?令f'?x??0,解得x?,?f?x?的单调递减区间是?,???.……4分
e?e?1，t无解；……5分 e1111(ⅱ)0 eeee11(ⅲ)?t?t?2，即t?时，f(x)在[t,t?2]单调递增， ee(Ⅱ)(ⅰ)0 f(x)min?f(t)?tlnt……9分 1?10?t??-e……10分 ?f(x)min?e，1?t?tlnt?e(Ⅲ)由题意:2xlnx?3x?2ax?1?2在x??0,???上恒成立 231x?……11分 22x?x?1??3x?1?……12分 3x1131'???设h?x??lnx?, 则h?x????22xx22x22x21'令h?x??0,得x?1,x??(舍) 3即2xlnx?3x?2ax?1 可得a?lnx?2''当0?x?1时,h?x??0;当x?1时, h?x??0 ?当x?1时,h?x?取得最大值, h?x?max=-2……13分 ?a??2.?a的取值范围是??2,???.……14分 7、解：(1)∵f(?1)?0，∴a?b?1?0，……………………（1分） ?a?0又x?R, f(x)?0恒成立，∴?-………………（2分）， 2???b?4a?0∴b2?4(b?1)?0，∴b?2, a?1………………（3分）. ∴f(x)?x?2x?1?(x?1). ………………（4分） (2)g(x)?f(x)?kx?x?2x?1?kx?x?(2?k)x?1 ………………（5分） 2222k?2k?22?k2(2?k)2?2或??2时，………（7分） ?(x?)?1?，当2224即k?6或k??2时，g(x)是单调函数.…………………………（8分） 2(3) ∵f(x)是偶函数，∴f(x)?ax?1,…………………………（9分） - 9 - 第 - 10 - 页 共 17 页 2??ax?1 (x?0)F(x)??………………………………（10分）， 2???ax?1 (x?0)∵m?n?0,设m?n,则n?0.又m?n?0, m??n?0, ∴|m| ? |?n|，------（12分） F(m)＋F(n)?f(m)?f(n)?(am2?1)?an2?1?a(m2?n2)?0， ∴F(m)＋F(n)能大于零. …………………………（14分） ??c?0,?28、解：（I）由图形知：?a?8?b?8?c?0, ………2分 ?4ac?b2?16,??4a?a??1,? 解之,得?b?8,∴函数f（x）的解析式为f(x)??x2?8x. ………4分 ?c?0.?2??y??t?8t,2（Ⅱ）由? 得 x?8x?t(t?8)?0 …2分 2??y??x?8x,?x1?t,x2?8?t.∵0≤t≤2， ∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为(t,?t2?8t) ……………3分 由定积分的几何意义知： S(t)??[(?t2?8t)?(?x2?8x)]dx??[(?x2?8x)?(?t2?8t)]dx ………4分 0tt2332txx?[(?t?8t)x?(??4x)]|0?[(??4x2)?(?t2?8t)x]|t2 33??4t3?10t2?16t?40. ……………5分 332（Ⅲ）令?(x)?g(x)?f(x)?x?8x?6lnx?m. 因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数 2?(x)?x2?8x?6lnx?m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交 点. ………………1分 262x?8x?6?2(x?1)(x?3)(x?0). ???(x)?2x?8??xxx当x∈（0，1）时，???(x)?0,??(x)是增函数； 当x∈（1，3）时，??(x)?0,?(x)是减函数; 当x∈（3，+∞）时，??(x)?0,?(x)是增函数; ………………2分 - 10 -