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当x=1或x=3时，??(x)?0.
∴?(x)极大值为?(1)?m?7;?(x)极小值为?(3)?m?6ln3?15. 又因为当x无限趋近于零时，?(x)?0;当x无限大时,?(x)?0. 所以要使?(x)?0有且仅有两个不同的正根，必须且只须
??(1)?0,??(3)?0, ……………………4分 或?'???(3)?0,??(1)?0.即??m?7?0,?m?6ln3?15?0,∴m=7,或m?15?6ln3. 或?m?6ln3?15?0,m?7?0.??所以当m=7或m?15?6ln3时，函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点. …………5分 9、解：（1）证明：定义在R上的函数f?x?对任意的x1,x2?R，
都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1成立
令x1?x2?0,则f(0?0)?f(0)?f(0)?1?f(0)?1 （1分） 令x1?x,x2??x,则f(x?x)?f(x)?f(?x)?1
∴?f(x)?1???f(?x)?1??0 （3分） ∴f(x)?1为奇函数 （4分） （2）证明：由（1）知：f(x)?1为奇函数， ∴f(?x)?1???f(x)?1? （5分）
任取x1,x2?R，且x1?x2，则x2?x1?0 ∵f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1
∴f(x2?x1)?f(x2)?f(?x1)?1?f(x2)??f(x1)?1??f(x2)?f(x1)?1
∵当x?0时，f(x)?1，
∴f(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?1?1，∴f(x1)?f(x2) （8分） ∴f(x)是R上的增函数。 （9分）
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（3）解：∵f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?1，且f(4)?5
∴f(4)?f(2)?f(2)?1?f(2)?3 （10分） 由不等式f(3m2?m?2)?3，得f(3m2?m?2)?f(2) （11分） 由（2）知：f(x)是R上的增函数
22 ∴3m?m?2?2?3m?m?4?0??1?m?4 （13分） 3 ∴不等式f(3m?m?2)?3的解集为：??1,? （14分）
2??4?3?????10、解：（1）当|x|?2时，由a?b得a?b?(x2?3)x?y?0，
|2?且x?0）------------------------------------------------------2分 （|xy?x3?3x；
??当|x|?2时，由a//b.得y??x--------------------------------------4分 x2?3?x3?3x,(?2?x?2且x?0)?∴y?f(x)??x---------------------------5分
.(x?2或x??2)?2?3?x（2）当|x|?2且x?0时，由y'?3x?3<0,解得x?(?1,0)?(0,1)，---------------6分
2(3?x2)?x(?2x)3?x2当|x|?2时，y'???0------------------------------8分
(3?x2)2(3?x2)2∴函数f(x)的单调减区间为（－1，０）和（０，1）---------------------------------------9分
2（3）对?x?(??,?2]?[2,??)，都有mx?x?3m?0即m(x?3)??x，也就是m?2x对3?x2?x?(??,?2]?[2,??)恒成立，-------------------------------------------11分
(3?x2)?x(?2x)3?x2由（2）知当|x|?2时，f'(x)???0 2222(3?x)(3?x)∴函数f(x)在(-?,-2]和[2,+?)都单调递增-----------------------------------------------12分
?22?2，f(2)???2 3?43?4x?0，∴当x?(??,?2]时，0?f(x)?2 当x??2时f(x)?23?x又f(?2)?
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同理可得，当x?2时，有?2?f(x)?0，
综上所述得，对x?(??,?2]?[2,??)， f(x)取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m?2.----------------------------------------------------------------14分
11（1）解：函数f(x)?g(x)有一个零点为5，即方程(x?1)2?k(x?1)?0，有一个根为5，将x?5代入方程得16?4k?0，∴k?4，∴a1?2---------------1分 由(an?1?an)g(an)?f(an)?0得4(an?1?an)(an?1)?(an?1)2?0
(an?1)(4an?1?4an?an?1)?0
∴an?1?0或4an?1?4an?an?1?0-------------------------------3分 由（1）知a1?2，∴an?1?0不合舍去
由4an?1?4an?an?1?0得4an?1?3an?1---------------------------4分
3(an?1)----------------------5分 43∴数列{an?1}是首项为a1?1?1，公比为的等比数列
43n?13n?1∴an?1?()，∴an?()?1-------------------------------6分
44方法1：由4an?1?3an?1得an?1?1?〔方法2：由4an?1?3an?1---①得当n?2时4an?3an?1?1----② ①-②得4(an?1?an)?3(an?an?1) ∴
3an?1?an3?（n?2）即数列{an?an?1}是首项为a2?a1，公比为的等比数列
4an?an?1411113?a1??，∴an?1?an???()n?1---------------③ 44444313n?1由①得an?1?an?代入③整理得an?()?1〕
4443n?1（2）由（1）知an?()?1
43[1?()n]n3323n?14?n?4[1?(3)n]?n------8分 ∴?ai?1??()???()?n＝
34444i?11?43n33n31?∵对?n?N,有()?，∴1?()?1??
44444∵a2?a1?
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n3n∴4[1?()]?n?1?n，即?ai?1?n---------------------------------------------10分
4i?1（3）由bn?3f(an)?g(an?1)得bn?3(an?1)2?4(an?1?1)
333]?4()n＝3{[()n?1]2?()n?1}-----------------------11分
4443n?1121令u?()，则0?u?1，bn?3(u2?u)＝3[(u?)?]
42412111∵函数bn?3[(u?)?]在[,1]上为增函数，在(0,)上为减函数-----12分
2422332927当n?1时u?1，当n?2时u?，当n?3时，u?()?，当n?4时u?，
4416642719312719????1，且|?|?|?| ∵
642164264216∴bn?3[()n?1234∴当n?3时,bn有最小值，即数列{bn}有最小项，最小项为
99189b3?3[()2?]??--------------------------------------------------------13分
1616256当n?1即u?1时，bn有最大值，即数列{bn}有最大项，最大项为b1?3(1?1)?0．
?????1????????112、解：由 OM?(OA?OB)，得点M(,b)是AB的中点，
2211则(x1?x2)?， 故x1?1?x2，x2?1?x1，………… 4分 22所以b?f(x1)?f(x2)11xx1?(?log21??log22)
2221?x121?x2xxxx1111?(1?log21?log22)?(1?log21?2)?(1?0)? …… 6分 2x2x12x2x122（2）由（1）知当x1?x2?1时，f(x1)?f(x2)?y1?y2?1。 …… 8分 又Sn??f(n)?f(n)?f(n)???f(i?1n?1i12n?1)， ………… 10分 nn?1n?21)?f()???f()， nnn1n?12n?2n?11)]?[f()?f()]???[f()?f()] ∴2Sn?[f()?f(nnnnnn …………… 13分 ?1??1???1?n?1 ????∴Sn?f(n?1个 ?Sn?n?1?（n?N，且n?2） 2 …………… 14分
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13、解：（1）由抛物线经过点O(0,0)、A(m,0)设抛物线方程y?kx(x?m),k?0， 又抛物线过点P(m?1,m?1)，则m?1?k(m?1)(m?1?m)，得k?1， 所以y?g(x)?x(x?m)?x2?mx。 …………………… 3分 （2）f(x)?(x?n)g(x)?x(x?m)(x?n)?x3?(m?n)x2?mnx，
f/(x)?3x2?2(m?n)x?mn，函数f(x)在x?a和x?b处取到极值，…… 5分
故f/(a)?0,f/(b)?0，
?m?n?0，
?f/(m)?3m2?2(m?n)m?mn?m2?mn?m(m?n)?0 ………… 7分 f/(n)?3n2?2(m?n)n?mn?n2?mn?n(n?m)?0
又b?a，故b?n?a?m。 …… 8分 （3）设切点Q(x0,y0)，则切线的斜率k?f/(x0)?3x02?2(m?n)x0?mn 又y0?x03?(m?n)x02?mnx0，所以切线的方程是
y?x03?(m?n)x02?mnx0?[3x02?2(m?n)x0?mn](x?x0) …… 9分
又切线过原点，故?x03?(m?n)x02?mnx0??3x03?2(m?n)x02?mnx0
m?n。 ………… 10分 2/m?n)， 两条切线的斜率为k1?f/(0)?mn，k2?f(2122由m?n?22，得(m?n)?8，??(m?n)??2，
4所以2x03?(m?n)x02?0，解得x0?0，或x0?m?n3(m?n)2m?n1)??2(m?n)??mn??(m?n)2?mn?mn?2， ?k2?f(2424/ ………………………… 12分 所以k1k2?mn(mn?2)?(mn)?2mn?(mn?1)?1??1，
又两条切线垂直，故k1k2??1，所以上式等号成立，有m?n?22，且mn?1。 所以f(x)?x3?(m?n)x2?mnx?x3?22x2?x。 ………… 14 分 14、解：（1）f(x)在[?,?]上为增函数…………………………………..1分
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