高考数学数列题型之数列与函数交汇的综合题
四、数列与函数交汇的综合题
44(1)(1)xx，，,例27 已知函数()。 fx(),x,044(1)(1)xx，,, (?)若且，则称为的实不动点，求的实不动点; fx()fx()fxx(),x,Rx ,a,2(错误～未找到引用源。II)在数列中，，afa,()()，求数列n,N{}a1nn，1n
的通项公式。 {}an
42xx，，61解:(?)由及得 fx(),fxx(),344xx，
421xx，，612422或(舍去)， x,,,,,,,,,xxxx321013344xx，
,1fx()所以或，即的实不动点为或; x,1x,1x,,1(错误～未找到引用源。II)由条件得
4444,,(1)(1)1(1)1aaaaa，，,，，，nnnnn，1，从而有 a,,,,,,n，1444(1)(1)1(1)1aaaaa，,,,,,nnnnn，1,,
aa，，11nn，1ln4ln,， aa,,11nn，1
,,a，1a，11nlnln30,,4由此及知:数列是首项为，公比为的等比数列，故有 ln3ln,,a,1a,11n,,
n,14n,1aa，，1131，n,14,nnln4ln33,,,,,an,N()。 n,1n4aa,,1131,nn 2fxfxfxxf()()0,()2(1)1符合且恒成立，,,,例28 二次函数 f(0)fx() (1)求并求的解析式;
fffn(1)(2)()1lim.S (2)若bnS前项和.求数列并求 ab,，，，,,,,,nnnnnn,,12nan
cfccTccc,,,,,,(),2,...,且记 (3)若求符合最小自然数n( T,2008nnnn，1112n
2f(0)0, 又:ff(0)200(0)0,，,？, .解:(1) 22fxaxbxxbfxax()00(),，,,？, 对称轴即 2fafxx(1)11(),？,？, 又
22221112(1)nnn，b,,,2()(2)an,，，，,，，，,12 nnnnnn(1)1，，
11，，limlim2(1)2.S,,, S,,2(1);nn,,,,,,nnn，1n，1，， n,122？,C2(3) CC,()C,2. nnn，11
nnn,,1112482(1242)(21)，，，，, ？,,,,,,,T22222222008n ,,？,nn4,4min
1例29 已知函数，点，是函数图像上的两个点，，，，，，，，，Px,yPx,yfx,x,R，，fx111222x4，2
1P且线段的中点的横坐标为( PP122 P?求证:点的纵坐标是定值;
n,,?若数列的通项公式为，求数列的前m项的和,,a,f，，m,N,n,1,2,？,m,,aa,,nnnm,,
; Sm
1解:?由题可知:，所以， x，x,2，,1122
xx1211444，，，,，,，,yyf，，，，xfx1212xxxx12124，24，2，，，，24，2 xxxx12124，4，44，4，41,,,x，xxxxx1212122，，，，424442444，，，，，
y，y112P 点的纵坐标是定值，问题得证( y,,P24
4，122n
nm,n1,,,,f，f,?由?可知:对任意自然数m,n，恒成立( ,,,,mm2,,,, m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f，f，，f，f，f 由于，故可考虑利用倒写求和的方？,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,,
m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f，f，，f，f，f？,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,,法(即由于: mm,m,1221,,,,,,,,,,,f，f，f，，f，f？,,,,,,,,,,mmmmm,,,,,,,,,,，，，，，，
1m,12m,2m,11m,,,,,,,,,,,,,,2S,f，f，f，f，，f，f，
2f？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,mmmmmmmm,,,,,,,,,,,,,,，，，，，，所以，
11,，，m,1，2f(1),3m,1，，26 1所以，，，S,3m,1m 12
f(0),12*n例30 设f(x)=，定义f (x)= f,f(x),，a=(n?N). 1n+11nn f(0)，21，xn(1) 求数列,a,的通项公式; n
24n，n*(2) 若，Q=(n?N)，试比较9T与 T,a，2a，3a，？，2nan2n2n1232n24n，4n，1Q的大小，并说明理由. n
212,1解:(1)?f(0)=2，a==，f(0)= f,f(0),=, 11n+11n1，f(0)42，2n 2,11,f(0)f(0),1f(0),11，f(0)11nn，1nn?a==== -= -a. n+1n2f(0)，24，2f(0)f(0)，222n，1nn，21，f(0)n
1111n,1?数列,a,是首项为,公比为-的等比数列，?a=(,). nn4242(2)?T= a+2a+3a+…+(2n-1)a+2na， 2 n 1 2 3 2 n,1 2 n
111111(,),?T= (-a)+(-)2a+(-)3a+…+(-)(2n-1)a+2na ,2 n1 2 32 n12 n222222
= a+2a+…+(2n,1)a,na. 2 32 n2 n
3两式相减，得T= a+a+a+…+a+na. 2 n12 32 n2 n2
11，，2n,,1(),,311111n142，，2n,12n2n,1?T=+n×(-)=-(-)+(-). 2n 124266242，12
n111n113，12n2n,1T=-(-)+(-)=(1-). 2n 2n9926292 n3，19T=1-. ?2n2n2 3n，1又Q=1-， n2(2n，1)
2 n2当n=1时，2= 4,(2n+1)=9,?9T,Q ; 2 nn 2 n2当n=2时，2=16,(2n+1)=25,?9T,Q; 2 nn
2nn2013n222,[(1，1)],(C，C，C，？，C),(2n，1)当n?3时，， nnnn?9T,Q . 2 nn
00()x,,
例31 已知函数，数列fx(),,
满足 {}aafnnN,,()(*)nnnxnfnnxnnN[()]()(*),,，,,,,,111， ,
(I)求数列的通项公式; {}an
(II)设x轴、直线xa,与函数的图象所围成的封闭图形的面积为yfx,() ，求; Saa()(),0SnSnnN()()(*),,,1
(III)在集合，且中，是否存在正整数N，MNNkkZ,,,{|2，10001500,,k}使得不等式对一切nN,恒成立,若存在，则这样的正整数NaSnSn,,,,10051()()n
共有多少个,并求出满足条件的最小的正整数N;若不存在，请说明理由。 n (IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出{}a{}blim()bbb，，，？nn12n,,这个极限值。
解:(I)？nN,* ？,,,，,,，,fnnnnfnnfn()[()]()()111 ？,,,fnfnn()()1 ？,,ff()()101
ff()()212,, ff()()323,, ……
fnfnn()(),,,1
nn()，1 将这n个式子相加，得 fnfn()(),,，，，，,0123？ ？f()00,2 nn()，1？,fn() 2nn，
()1 ？,anN, n(*)
n,1 (II)SnSn()(),,1为一直角梯形(时为直角三角形)的面积，该梯形的两底 2aa，fnfn()(),，1fnfn()(),1，边的长分别为，高为1 nn,1 ？,,,SnSn()()1，,1 22
21nnnnn()(),1，1 ,[，],2222 (III)设满足条件的正整数N存在，则 2nnnn()，1 ,,,,,,100510052010n222
又 M,{}200020022008201020122998，，，，，，，？？ 均满足条件 ？,N201020122998，，……， 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列。
设共有m个满足条件的正整数N，则，解得 m,4952010212998，,,()m ？M中满足条件的正整数N存在，共有495个， N,2010min 211
1 (IV)设，即b,,,2() b,nnan