nnnn()，1，1
11111111 则bbb，，，,,，,，,，，,？？21[()()()()](),,21 112n22334nnn，1，1
n显然，其极限存在，并且 lim()lim[]bbb，，，,,？2,212n,,,,n
n，1
例32 函数的定义域为R，且
(?)求证:;
(?)若上的最小值为，试求f(x)的解析式;
(?)在(?)的条件下记试比较与
的大小并证明你的结论(
解:(?)?f(x)定义域为R，
(?)由(?)知f(x)在[0，1]上为增函数，
(?)
[a,b]x,[a,b]f(x),kx，m,当x,[a,b] 例33 已知函数时，f(x)的值域为，当 222211
x,[a,b]f(x)f(x)时，的值域为，依次类推，一般地，当时，的值域[a,b]n,1n,133
为
[a,b]a,0,b,1.，其中k、m为常数，且 nn11 {a},{b} (1)若k=1，求数列的通项公式; nn
(2)项m=2，问是否存在常数，使得数列满足若存在，求k的k,0limb,4?{b}nnn,,
值;若不存在，请说明理由;
{a},{b}(3)若，设数列的前n项和分别为S，T，求[来源:学&科&网] k,0nnnn (T，T，？，T),(S，S，？，S) 。 122010122010
f(x),x，m,当x,[a,b]时,f(x)为单调增函数,解:(1)因为 n,1n,1 [a，m,b，m]所以其值域为 n,1n,1 *a,a，m,b,b，m(n,N,n,2)于是 nn,nn,11 a,0,b,1,所以a,(n,1)m,b,1，(n,1)m.又 11nn
f(x),x，mf(x),kx，m(k,0),当x,[a,b]时,f(x)为单调增函数 (2)因为 n,1n,1
f(x)的值域为[ka，m,kb，m],因m,2,则b,kb，2(n,2)所以……8分
n,1n,1nn,1法一:假设存在常数，使得数列，k,0{b}满足limb,4,则limb,klimb，2nnnn,1n,,n,,n,,
14,4k，2,则k,得符合。 2
法二:假设存在常数k,0，使得数列满足 limb,4.{b}nnn,, 当k=1不符合。……9分
22当， k,1时,b,kb，2(n,2),b，,k(b，)(n,2)nn,1nn,1k,1k,1 22n,1b,，k,则 (1),nk,k,11
21当 0,k,1时,limb,,4,得k,符合.n,,n1,k2
k,0,当x,[a,b]时,f(x)为单调减函数, (3)因为 n,1n,1 [kb，m,ka，m]所以f(x)的值域为 n,1n,1 *a,kb，m,b,ka，m(n,N,n,2)于是 nn,nn,11 b,a,,k(b,a)则 nnn,1n,1 b,a,1又 11
i,(k,,1),,i则有T,S, ,1,(,k)ii,(k,0,k,,1),1，k, 进而有
2021055,(,,1)k,
,2011(T，T，？，T),(S，S，？，S),2010，2011k,k,122010122010kk,(,0,,,1)2,(1，k),
…………18分
123x，{a}afa,,(),1n,2,n,N例34已知:函数，数列对总有; fx(),nn1a3xn,1 a(1)求{}的通项公式。 n
n,1Saaaaaaaaaa,,，,，，,(1)(2) 求和: nnn122334451，
11{b}{b}{b}{}{}(3)若数列满足:?为的子数列(即中的每一项都是的项，且按nnnaann11{b}{}在中的顺序排列)?为无穷等比数列，它的各项和为。这样的数列是否存在,na2n
{b}若存在，求出所有符合条件的数列，写出它的通项公式，并证明你的结论;若不存在，n
说明理由。
23，23，aa1223x，nn,,11,,,,，()afa解(1)由，又 分 fx(),2nn,1333a3xn,1
an,1
221n，*{a}a,1()nN,所以，是以为首项，为公差的等差数列，即分 a,4n1n33 4n(2)当为偶数， aaaaaaadaa,,,,,,,()2nnnnnnnnn,，,，11113
aa，4422n22n所以 分 Saaann,,，，,,,,,()6nn24332293 n当为奇数，则为偶数， n,1
2222123267nnnn，，，，2SSaann,，,,,,,，,(1)(1) 分 8nnnn,，1193339
22,2,,nnn为偶数,,93综上: 分 10S,,n2nn，，267,n为奇数,9,
31331n*bq,,,kpN,,(3)设，公比，则()对任q,,0b,11n2121kmp，，m21k，
*m意的均成立，故是正奇数，又存在，所以 分 nN,12Sm,1
133当时，S,，此时b,，b,，成立 分 m,3131nn，1293
,,121当时，S,，此时故不成立 分 b,,14m,5,,12a5n,,
133S,b,b,时，，此时，，成立 分 m,7151nn277
1814323*S,k,b,当时，，由，得，设，则，又因为kN,，1,,b,m,91128921k，m9
b131b,1S,,q,0k,1,2b,所以，此时或分别代入，得到不合题意分 181112,q5
33{b}b,b,由此，满足条件(3)的只有两个，即或 0分 2nnnn，1n37 112,fx()fx()例35 已知函数～为函数的导函数( fxxx(),,，24,,,afafn,，()()nN,,?,若数列满足:～,,～求数列{}aa,1{}ann，1n1n
的通项, an
,bfb,2()nN,,?,若数列满足:～,,( {}bbb,nn，1n1
1?.当时～数列是否为等差数列,若是～请求出数列的通{}b{}bb,nn2 项,若不是～请说明理由, bn
n112,,b1?.当时～ 求证:( ,,2bb,21,1ii