21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果
多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作
（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换
已知矩阵M???a2??的一个特征值为1.
??13?（Ⅰ）求矩阵M的另一个特征值；
?3?5（Ⅱ）设????，求M?.
?2?（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??x?2?2cos?（?为参数），在
y?2sin??极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为?sin(??（Ⅰ）求曲线C在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l被曲线C截得的弦长. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲
设函数f?x??2x?1?x?1. （Ⅰ）求不等式f?x??0的解集D；
（Ⅱ）若存在实数x?D使3x?2?x?a成立，求实数a的取值范围．
?4)?0.
2012届泉州市普通中学高中毕业班质量检测
理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如
果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的
内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
市质检数学（理科）试题 第6页（共14页）
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1． B 2．D 3．B 4．B 5．C 6． C 7．A 8．C 9 D． 10．D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.
11．?1,2,3? 12．????433??1?23, 13. 14． 15． ,?????933??2?三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题主要考查等差数列、概率统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．满分13分． 解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由已知得
?a1?2?a1?d?5解得. ……2分 ??d?3??a1?5d?4a1?3d故an?a1?(n?1)d?3n?1，Sn?n(a1?an)321?n?n. ……5分 222（Ⅱ）由（Ⅰ）得an?a1?(n?1)d?3n?1，
∴?a1,a2,a3,?,a10???2,5,8,?,29?有5个奇数，5个偶数. ……6分
?有0,1,2,3共四个取值，
0312130C5C51C5C5C52C5C5C551P(??0)?3?,P(??1)?3?,P(??2)?3?,P(??3)?35?C1012C1012C1012C1012 故?的分布列为：
? P ……10分 则E?=0?0 1 2 3 1 125 125 121 1215513+1?+2??3??. ……13分 12121212217. 本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分13分．
解
析
：（
Ⅰ
）
在
?PRQ中，由余弦定理可得：
市质检数学（理科）试题 第7页（共14页）
??332?PQ?2??11?2?|PQ|?11?2311， 11?PQ2?6|PQ|?16?0，?|PQ|?8或|PQ|??2（舍去）. ……………3分 ?函数y?f?x?的周期为8. ………….5分
（Ⅱ）?T?8，???2???， ……….7分 T4又?函数f?x?过点P(1,0)，?????4， …………9分
?????f?x??Asin?x??.
4??4PHR中，|PR|?11,cos?RPQ?过点R作x轴的垂线，垂足为H，在RT?311，11????|PH|?3，|RH|?2， R4,2， ?Asin?????2， A?2. …..11分
4???????f?x??2sin?x??，
4??4??则f?????6?2?4??????2sincos?2cossin. …….13分 ??2sin????34342?3??34?18. 本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．满分13分．
x2y22??1的离心率为解析：（Ⅰ）椭圆?:， ……1分 84212抛物线y?x的焦点为(0,1). ……2分
4x2y2设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，
ab?c2?e??a2????a?2由题意，得： ?b?1，解得?，
??b?1?a2?b2?c2???x2?y2?1. ……5分 ∴椭圆C的标准方程为 2市质检数学（理科）试题 第8页（共14页）
（Ⅱ）解法一：椭圆C与椭圆E是相似椭圆. ……6分
?x2y2?1??联立椭圆C和直线l的方程，?8，消去y， 4?y?kx?t?得(1?2k2)x2?4ktx?2t2?8?0， ……7分 设A,B的横坐标分别为x1,x2，则x1?x2??4kt. ……8分 21?2kx2y2设椭圆E的方程为2?2?1(m?0,n?0,m?n)， ……9分
mn?x2y2?1??联立方程组?m2n2，消去y，得(n2?m2k2)x2?2ktm2x?m2(t2?n2)?0,
?y?kx?t?2ktm2设H,K的横坐标分别为x3,x4，则x3?x4??2. ……10分
n?m2k2∵弦AB的中点与弦HK的中点重合， ……11分 4kt2ktm2??2∴x1?x2?x3?x4，?， 2221?2kn?mk∵k?0,t?0，∴化简得m?2n， ……12分
22m2?n2n2求得椭圆E的离心率e?，……13分 ??m22n∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆.
x2y2解法二：设椭圆E的方程为2?2?1(m?0,n?0,m?n)，
mn并设A(x1,y1),B(x2,y2),H(x3,y3),K(x4,y4). ∵A,B在椭圆C上，
222∴x1?2y12?8且x2?2y2?8，两式相减并恒等变形得k??2x1?x2. ……8分
y1?y2m2x3?x4由H,K在椭圆E上，仿前述方法可得k??2. ……11分
ny3?y4∵弦AB的中点与弦HK的中点重合， ∴m?2n， ……12分
22m2?n2n2求得椭圆E的离心率e?，……13分 ??m22n∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆.
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19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和算法初步等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.
解:（Ⅰ）证法一：∵HM?MA,HN?NC,HK?KF，
∴MK//AF,MN//AC.
?MK?平面ACF,AF?平面ACF,
∴MK∥平面ACF，
同理可证MN∥平面ACF, ……3分 ∵MN,MK?平面MNK,且MK?MN?M， ∴平面MNK//平面ACF， ……4分
又MG?平面MNK，故MG//平面ACF.……5分 证法二：连HG并延长交FC于T，连接AT. ∵HN?NC,HK?KF， ∴KN//FC,则HG?GT，
又∵HM?MA，∴MG//AT， ……2分
zHEFyCAxBG?MG?平面ACF,AT?平面ACF，
∴MG//平面ACF. ……5分
（Ⅱ）(i)如图，分别以DA,DC,DH所在直线为
x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系O?xyz.则有A(3,0,0C),(0,2,F0),(，3,H(0,0,1). ……6分 ???????????? AC?(?3,2,0),AF?(0,2,1)，AH?(?3,0,1).
D(O)?设平面ACF的一个法向量n?(x,y,z)，
?????2???n?AC??3x?2y?0?x?y则有?????，解得??3,
???n?AF?2y?z?0?z??2y?令y?3，则n?(2,3,?6), ……8分
?????AH?n12610?∴sin????????, ……9分
35|AH||n|7?10∴三棱锥H?ACF的高为AH?sin??（ii）t?2. ……13分
61012?10?. ……10分 35720. 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．满分14分．
市质检数学（理科）试题 第10页（共14页）