解析：（Ⅰ）函数f?x??lnx?x2?ax的定义域为{x|x?R,x?0}. 当x?0时，f?x??lnx?x2?ax，?f??x??1?2x?a； ……1分 x1?2x?a； ……3分 x当x?0时，f?x??ln??x??x2?ax，?f??x??综上可得 f??x??1?2x?a?x?0?. ……4分 x1?2x2?ax?1（Ⅱ）∵f??x???2x?a?，x1、x2为函数f?x?的两个极值点，
xxa2∴x1、x2为方程?2x?ax?1?0的两根，所以x1?x2?，
2又∵x1?x2??1，∴a??1. ……5分 2?2x2?x?1??2x?1??x?1??此时，f??x??，
xx?2x?1??x?1??0，
由f??x??0得
x11当x?0时，(2x?1)(x?1)?0,?1?x?，此时0?x?；
22当x?0时，(2x?1)(x?1)?0,x??1或x?∴当f??x??0时，x??1或0?x?1，此时x??1. 21. ……7分 21. ……8分 2当f??x??0时，同理解得?1?x?0或x?综上可知a??1满足题意，且函数f?x?的单调递增区间为(??,?1]和
?1??0,?. ……9分 ?2?1（Ⅲ）∵f??x0???2x0?a，又C?x0,lnx0?x02?ax0?，
x0∴切线l的方程为y?lnx0?x02?ax0?????1??2x0?a??x?x0?， ?x0?即y???1??2x0?a?x?1?x02?lnx0（x0为常数）. ……10分 ?x0?市质检数学（理科）试题 第11页（共14页）
令g?x??f?x??????1??2?2x?ax?1?x?lnx?000??x?
???0???1??2?lnx?x????x?2x0?x?1?x0?lnx0??，
???0?2g??x???2xx0?1??1?1?2x???2x0????x?x0?????x?xx0??x0?2(x?x0)(x?x1)2x0， 11分
当x0?0时，x、g??x?、g?x?的关系如下表：
x g??x? ?1??,??2x0?+ ↗ ?? ??1 2x00 ?1?,0? ???2x0?? ↘ ?0,x0? + ↗ x0 ?x0,??? ? ↘ 0 极大值 g?x? 极大值 当x0?0时，x、g??x?、g?x?的关系如下表：
x g??x? g?x? ???,x0? + ↗ 2x0 ?x0,0? ? ↘ ?10,??2x0?+ ↗ ?? ??1 2x00 ?1??,???? 2x0??0 极大值 ? ↘ 极大值 函数f?x??lnx?x?ax的图象恒在直线l的下方或直线l上， 等价于g?x??0对x?0恒成立.
∴只需g?x0??0和g???1?112?ln??x?0?0同时成立. ……12分 222x04x0?2x0??1?11?ln??x02?0. ?222x04x0?2x0?x1??x?0?， 22x∵g?x0??0，∴只需g??下面研究函数m?x??lnx?市质检数学（理科）试题 第12页（共14页）
1111?x?1??∵m?x?????2??0， x22x2x2∴m?x?在?0,???上单调递增，
注意到m?1??0，∴当且仅当0?x?1时，m?x??0. ……13分
2∴当且仅当0??1?1时，?1g????0， 22x0?2x0?由0?221解得或. x???1x?00222x0222]?[,??). ……14分 22∴x0的取值范围是(??,?21.（1）选修4—2:矩阵与变换
本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.
解：（Ⅰ）矩阵M的特征多项式f????????a?2??????a????3??2，…1分
1??3??又?矩阵M的一个特征值为1，
?f?1??0，?a?0， ……2分
由f????????3??2?0，得?1?1,?2?2，
所以矩阵M的另一个特征值为2. ……3分
?2?M（Ⅱ）矩阵的一个特征值为?1?1，对应的一个特征向量为?1???，……4分
?1?另一个特征值为?2?2，对应的一个特征向量为?2???，……5分
?1??1??2?5?1??34?
∵???1??2，∴M??M??1??2??1???2?????. ……7分
?1??1??33?
555（2）选修4—4:坐标系与参数方程
本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.
市质检数学（理科）试题 第13页（共14页）
2解析：（Ⅰ）曲线C可化为?x?2??y?4即x2?4x?y2?0， ……1分
2所以曲线C在极坐标系中的方程为?2?4?cos??0， ……2分 由于??4cos?包含??0的情况，
∴曲线C在极坐标系中的方程为??4cos?. ……3分 （Ⅱ）?直线l的方程可化为x?y?0， ……4分
?圆C的圆心C?2,0?到直线l的距离为d?2， ……5分
又?圆C的半径为r?2，
?直线l被曲线C截得的弦长l?2r2?d2?22. ……7分
（3）选修4—5；不等式选讲
本题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.
解析：（Ⅰ）当x??1时，由f?x???x?2?0得x?2，所以x??；
当?1?x?当x?11时，由f?x???3x?0得x?0，所以0?x?； 2211时，由f?x??x?2?0得x?2，所以?x?2. ……2分 22综上得：不等式f?x??0的解集D?x0?x?2. ……3分 （Ⅱ）3x?2?x?3x?2?x， ……4分 由柯西不等式得
???3x?2?x?2??3?1??x??2?x???8，
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?3x?2?x?22， ……5分
当且仅当x?3时取“=”， 2? a的取值范围是??,22. ……7分
??市质检数学（理科）试题 第14页（共14页）