由题可知，kcos??2,kcos???3,kcos??4
又因为cos2??cos2??cos2??1 所以k?波长为 ??29
2?2? ?k291cos?3cos?2,??? 2???沿x,y,z方向的空间频率为 ??cos????,????? 1.13 单色平面波的复振幅表达式为 U?x,y,z??Aexp?j???1??14x?214y???z?? 14??3求此波在传播方向的空间频率以及在x,y,z方向的空间频率. 解：设单色平面波的复振幅的表达式可以表示成以下形式
U(x,y,z)?aexp(jk?r)?aexp[jk(xcos??ycos??zcos?)] 由题可知，kcos??114,kcos??214,kcos??314
又因为cos2??cos2??cos2??1 所以k?1 波长为 ??2??2? k沿x,y,z方向的空间频率为 ??cos???12?14,??cos???1?14,??cos???32?14
第三章 光学成像系统的传递函数
3.1 参看图3.1.1，在推导相干成像系统点扩散函数(3.1.5)式时，对于积分号前的相位因子
?k?k22?x0?y0?exp exp?j?j??2d0?2d0?????xi2?yi2??M2????? ????试问：（1）物平面上半径多大时，相位因子 exp?j?k22?x0?y0?
2d0????相对于它在原点之值正好改变π弧度？
（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？
（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a , λ和do之间存在什么关系
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时可以弃去相位因子
?k22?exp?jx0?y0? ?2d0???解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点相位差为π的条件是
kro2k22 (xo?yo)???,ro??do
2do2do（2）根据
1h(xo,yo;xi,yi)?2?dodi??2?P(x,y)exp?j[(x?Mx)x?(y?My)y]??dxdyioio??????di?
???12?~~?2P(x,y)exp?j[(x?x)x?(y?y)y]??dxdyioio???dodi????di??相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点
(~xo,~yo)
1h(xo,yo;xi,yi)?2?dodi?2?22?~~?j[(xi?xo)?(yi?yo)]?dxdy????P(x,y)exp??di??
1~?1aJ1(2?a?)?r???2B?circ????2??dodi??a???dodi?式中r?x2?y2，而
2??yi?~yo??????di???xi?~xo22 ?????????di???? （1） ?2在点扩散函数的第一个零点处J1(2?a?o)?0，此时应有2?a?o?3.83，即 ?o?0.61 (2) a将(2)式代入(1)式，并注意观察点在原点(xi?yi?0)，于是得 ro?0.61?do (3) a （3）根据线性系统理论，像面上原点处得场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献h(xo,yo;0,0)。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近
ro?0.61?do/a范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子exp[jkro2/2do]变化不
大，而降它弃去。假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度(例如π/16)就满足以上要求，
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则kro/2do?2?16,ro2??do/16，也即
a?2.44?do （4）
例如λ ＝600nm , do = 600mm，则光瞳半径a≥1.46mm，显然这一条件是极易满足的。
3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 t?xo,yo??11?cos2?foxo 22放在图3.1.1所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在xoz平面内，与z轴夹角为θ。透镜焦距为f ,孔径为D。
（1） 求物体透射光场的频谱；
（2） 使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布；
（3） 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ＝0时的截止频率比较，结论如何？
解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp(jkx0,sin?)，为确定起见设θ> 0，则物平面上的透射光场为
Uo(xo,yo)?Aexp(jkxo,sin?)t(xo,yo)?其频谱为
??A??sin??1sin???1sin??????expj2?x?expj2?xf??exp?j2?xf??????????ooooo??2?2????2???????????A(?,?)??{Uo(xo,yo)}
?A??sin??1?sin???1?sin???? ?????????f??????f??????????oo???2????2?????2??????由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿ξ轴整体平移了sinθ/λ距离。
（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统。系统的截至频率
?c?D/4?f，于是要求
由此得
?fo?θ角的最大值为
?max?arcsin??此时像面上复振幅分布和强度分布为
sin???DDsin?D,???fo?? 4?f4?f?4?fDD?sin?? （1） 4f4f?D?4f??? （2） ? 8
?AD?1?exp?j2?x[1?exp(?j2?xifo)]i??24?f?2?
2A?5?Ii(xi,yi)??cos2?fxo?4??4?Ui(xi,yi)? （3）照明光束的倾角取最大值时，由(1)式和(2)式可得 ?fo?DD ?4f4ffomax?D (3) 2?f即 fo?D2?f或θ＝0时，系统的截止频率为?c?D/4?f，因此光栅的最大频率 fomax??c?D (4) 2?f比较(3)和(4)式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。
3.3 光学传递函数在????0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？
解：在
?H(?,?) ?(?,?)?I?HI(0,0)??h(x,y)exp[?j2?(?x,?y)]dxdyIiiiii???i （1）
Iiiii??h(x,y)dxdy??式中，令 h(xi,yi)?hI(xi,yi)?
ii??h(x,y)dxdyIii??为归一化强度点扩散函数，因此(1)式可写成
? ?(?,?)???h(x,y)exp[?j2?(?x,?y)]dxdy
iiiiii???而 ?(0,0)?1???h(x,y)dxdy
iiii??即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，着便是归一化点扩散函数的意义。 （2）不能大于1。
（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是δ函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。
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3.4 当非相干成像系统的点扩散函数hI?xi,yi?成点对称时，则其光学传递函数是实函数.
解：由于hI(xi,yi)是实函数并且是中心对称的，即有hI(xi,yi)?hI?(xi,yi)，
hI(xi,yi)?hI(?xi,?yi)，应用光学传递函数的定义式
?H(?,?)?(?,?)?I?HI(0,0)??h(x,y)exp[?j2?(?x,?y)]dxdyIiiiii???i
Iiiii??h(x,y)dxdy??易于证明?(?,?)???(?,?)，即?(?,?)为实函数
3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？
解：用公式?(?,?)?S(?,?)来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因S0此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠。这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截至频率约为2a/?di，由于2a很小，所以系统实现了低通滤波。
第四章 部分相干理论
4.1 若光波的波长宽度为Δλ，频率宽度为Δν，试证明：
?v??。设光波波长为?v???632.8nm,???2?10?8nm，试计算它的频宽Δν = ? 若把光谱分布看成是矩形线型，
则相干长度lc??
证明：因为频率与波长的关系为 c?v?(其中c为光速)
对上式两边求导得 dc?vd???dv?0 所以
dvd??v???v?? ???????v?v?v?因??632.8nm,???2?10?8nm
c?v??v???v?
??????v?c ?2???10