解：如图题9.3所示，先将t (x)展开成傅立叶级数
a0?2n?x2n?x t(x)? ??ancos?bnsin2n?1a?ba?b
式中
2a?2R0a?bn?n?(a?b)?2sincos,??n?22(a?b) an??2n?(a?b)n??sincos,?2(a?b)2?n?a0?bn?0所以
n?奇
n?偶t(x)?R0??
2n?n?(a?b)2n?xsincoscos?n?22(a?b)(a?b)
2n?n?(a?b)2n?xcossincos?n?22(a?b)(a?b)?R0?R1?R2第一次曝光得
IAt(x)?IAR0?IAR1?IAR2
对于t?(x)是将光栅向x的负方向移动半个周期即(a+b) /2，将它展开成傅立叶级数得
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第二次曝光得
IBt(x)?IBR0?IBR1?IBR2总曝光量＝(IA?IB)(R0?R2)?(IA?IB)R1
即图像和的信息受到光栅偶数倍频的调制，图像差的信息受到光栅奇数信频的调制。
9.2 用Vander Lugt方法来综合一个平年元平面滤波器，如图9.1(左)所示，一个振幅透射率为s(x,y)的“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜的前面，用照相底片记录后焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透射率正比于曝光量。这样制得的透明片放在图题9.1(右)的系统中，假定在下述每种情况下考查输出平面的适当部位，问输入平面和第一个透镜之间的距离d应为多少，才能综合出：
（1）脉冲响应为s(x,y)的滤波器？
（2）脉冲响应为s* (x,y)的“匹配”滤波器？
解：（1）参看图题9.1左，设物面坐标为x1, y1；胶片坐标为x2, y2。则参考光波在记录胶片上造成的场分布为
Ur(x2,y2)?Aexp(?j2??y2) （1） 式中A为常数，α ＝sinθ/λ为空间频率。物透明片在记录胶片上造成的场分布为 U1(x2,y2)?Cexp?j??22?(x2?y2)?S(?,?) ?f??式中S(ξ,η)为s(x1, y1)的频谱，且ξ＝x2/λf，η=y2/λf。胶片上的光强分布为
I(x2,y2)?Ur(x2,y2)?U1(x2,y2)222222???x2??y2??A?CS(?,?)?CAS(?,?)exp??j2????y2?? (2) ?2?f????????22???x2??y2??CAS(?,?)exp?j2?????y2?2?f??????将曝过光的胶片显影后制成透明片，使它的复振幅透过率正比于照射光的强度，即 t(x2,y2)?I(x2,y2) （3） 将制得的透明片作为频率平面模片，放在图题9.1右所示的滤波系统中。要综合出脉冲
响应s(x , y)或s*(-x , -y)，只要考察当输入信号为单位脉冲δ (x , y) 时，在什么条件下系统的脉冲响应为s(x , y)或s*(-x , -y)。
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参看右图，当输入信号为δ (x1 , y1)时，在L2的后焦面上形成的光场复振幅分布，根据公式
?(f?do)(x2?y2)???f(xox?yoy)?U(x,y)?c?exp?jkt(x,y)exp?jk???oo??dxodyoq(f?do)?fdo???2?q(f?do)?fdo????得
22????d?x2?2???y2?U2(x2,y2)?exp?j2??1??(x,y)exp?j(xx?yy)112121?dx1dy1???2?f???f?f??????????d?x?y??exp?j2???1?f??2?f?????透过频率平面模片得光场分布，由(2)，(3)和(4)式得
2222
(4)22???d?x2?y2?(x2,y2)?U(x2,y2)t(x2,y2)?[A?CS(?,?)]exp?j2???U21?????f?2?f???22222??dx2???y2?CAS(?,?)exp??j2????y2????f2?f??????*22??????y2d?x2???CAS(?,?)exp?j2???2???y??2??2?ff????????
(5)如果要使系统是脉冲响应为s(x , y)的滤波器，应当利用(5)式中含有S(ξ,η)的第三项，
应要求该项的二次相位因子为零，即有 d =2f (6) 这时的输出为（在反演坐标系中）
U3(x3,y3)?S(x3,y3???f) （7） （2）若要使系统的脉冲响应为s*(-x , -y)的匹配滤波器，应当利用(5)式中的第二项，要求d = 0，则在输出面上形成的光场复振幅分布为（在反演坐标系中）
U3(x3,y3)?s?[?x3,?(y3???f)] （8） 9.3 振幅透射率为h(x,y)和g(x,y)的两张输入透明片放在一个会聚透镜之前，其中心位于坐标（x = 0, y=Y/2）和(x =0, y = -Y/2)上，如图题9.2所示，把透镜后焦面上的强度分布记录下来，由此制得一张γ为2的正透明片。把显影后的透明片放在同一透镜之前，再次进行变换。试证明透镜的后焦面上的光场振幅含有h和g的互相关，并说明在什么条件下，互相关可以从其它的输出分量中分离出来。
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解：参见图题9.2，设用单位振幅的平面波垂直照明两张振幅透过率为h(x1,y1)和
g(x1,y1)的输入透明片，则透过两张透明片的光场的复振幅分布在透镜L2的后焦面上形成
的强度分布为(略去了二次相位因子)
YY??I(x2,y2)???h(x1,y1?)?g(x1,y1?)?22??
222?H(?,?)?G(?,?)?H?(?,?)G(?,?)expj(2?Y?)? （1） H(?,?)G?(?,?)exp?(j2?Y?)式中??x2/?f,??y2/?f.
用照相胶片记录(1)式所表达的强度分布，从而可制得γ＝2的正透明片，它的复振幅透
过率为
t(x2,y2)??I(x2,y2) （2） 将制得的正透明片置于透镜前再次进行傅里叶变换，若同样用单位振幅的单色平面波垂直照明，则透过透明片光场的复振幅分布在透镜后焦面形成的光场的复振幅分布，略去二次相位因子后，在反演坐标系中可表示为
(3)
第三项和第四项是h和g的互相关，只是中心分别在(0, -Y)和(0, Y)。
设函数h在y3方向的宽度为Wh，函数g在y3方向的宽度为Wg，并且假定Wh?Wg，则由(3)式所表达的U中各项在x3y3平面上所处的位置，要使自相关和互相关分开，显然应满足
24
Y?31Wh?Wg 229.4 在照相时，若相片的模糊只是由于物体在曝光过程中的匀速直线运动，运动的结
果使像点在底片上的位移为0.5mm。试写出造成模糊的点扩展函数h(x,y)；如果要对该相片进行消模糊处理，写出逆滤波器的透过率函数。
解：由于匀速运动，一个点便模糊成了一条线段，并考虑到归一化，具有模糊缺陷的点扩散函数为
hI?1?x?1?x?rect???rect?? a?a?0.5?0.5?带有模糊缺陷的传递函数为
Hc(?)???rect????sinc(a?)?sinc(0.5?) 滤波函数的透过率为
H(?)?1/Hc(?)?1/sinc(0.5?)
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