解本M/M/m问题，可不用边际算法求最优m，可直接从平均等待时间E(w)≤1/2h求m，采用试探算法即可求出其最优m值；
入1 = 入2 = ?? 入 = 5* μ
?5 =
1(1/h) 501 = 0.1(1/h) 50=μ1=μ2 =…=μm = 1/0.5 = 2(1/h)
对一台机器，平均50h一次故障，只要修理时间0.5 h加上平均等待时间E(w)小于1 h，则可用时间为49 h，若希望98%的时间机器可以使用，则只要平均等待时间E(w)≤0.5 h即可。
本题中，平均服务时间（修理时间） E(ts)=( 1/μ) h
?10.111??????
m?m2m20
对M/M/m, 要求等待时间 E(w)= 整理得：
mBE(ts)?0.5 h
m(1??)
m?1n?0(m?)[1?m(1??)]?m(1??)(1??)m!?试探： m=1
(m?)n n!ρ[1-1+ρ]≤(1-ρ)(1-ρ) ρ=
?0.11 ???220?2?(1??)2?1?2???2 0 ≤ 1-2ρ = 1- 0.1 = 0.9 成立
m = 1即可。
核对：m=1，问题简化为M/M/1模型。
其平均排队时延
E（T）＝1/（μ一λ）＝1/（2一0.1）＝20/38
＝ E(ts)+ E(w) ＝0.5+ E(w) (其中μ隐含C)
显然满足E(w) ≤0.5 h的要求，已保证可用时间>49小时。
9．一个M/M/1排队系统，把服务台本身和等候使用服务台的队列当作两个单独的服务系统。用
2利特尔公式说明ρ=λ/μ和等待队长Q??，其中μ隐含C。
1??答案：设M/M/1排队系统参数为λ，μ（隐含C），如图2-2所示
λ |?E(n)? |
μ |
图2-2 M/M/1排队系统
E(T) |
⑴对服务台，其模型如图2-3所示：
| E(ns) | μ λ
|
图2-3 服务台模型
E(Ts) | ①：平均到达率仍为λ（∵所有报文都要服务），平均队长E(ns)，平均排队时延为E(Ts),服务机构内无存储器，故，排队时延 = 服务时间 = 1/μ,考虑利特尔定律的普适性：
E(ns) =λE(Ts) = λ/μ,
②：以I(t)=1表示服务台忙，即服务台有一个报文；以I(t)=0表示服务台闲，即服务台无报文，如图2-4所示：
图2-4 服务台的忙期和闲期
于是：
t'?0I(t)dt表示(0——t’，服务台的有效工作时间)
=(0——t’，服务台有一个报文存在的时间) 而
t'?0I(t)dtt'则表示（0——t’，服务台的利用率） =（0——t’，服务台中的平均队长）
t'最后
limt'???I(t)dt0t'则表示（服务台平均利用率ρ）
=（服务台平均队长E(ns)，其值已在①求到，为λ/μ） 即ρ=λ/μ
⑵考虑等待使用服务台的队列，如图2-5所示：
Q
E（w）
μ
图2-5 等待使用服务台的队列
??2?2???平均队长Q = E(n) - ρ= λE(T) – ρ =
?????(???)1???其中E(n) 为M/M/1平均队长， E(T)为M/M/1平均排队时延。
10．一个港口，船的装卸时间为指数分布，平均３h，船的到达率为λ＝0.25/h，到达为泊松过程，M/M/1。
装卸(服务)时间概率密度为：b(t)??ce??ct
⑴.一支船到达时，要求２０小时以上服务时间的概率是多少？ ⑵.在港口中等待装卸的队长是多少？ 答案： ⑴
依题意可得：
1??3 h， λ＝0.25 /h ???0.75 ?c?ct??ct?cedt ?0
服务时间分布 F(t)?P[T?t]?t???e??ctd(??ct)???de??ct00t
??e??ctt0??[e??ct?1]?1?e??ct
平均排队时延 （从到港至装卸完）
T?11??12h
11?c???34??ct P[T?t]?P[T?20]?1?e
?1?e?203
于是，一只船到达时，要求２０小时以上服务时间的概率是： P[T?20]?1?P[T?20]?e?203?1e203
⑵在港口中等待装卸的队长是：
Nw??1?2?932)4??16?2.25
311?44(
11．设船到码头，在港停留一小时损失C1 元，服务费用正比于服务（装卸船）率，每小时C2 元，进港船只是泊松流，参数为λ，装卸时间服从参数为μ的负指数分布。求使整个系统总费用最小的服务率μ。
答案：
系统模型如图2-6所示： 港 口
入 μ 图2-6 系统模型
这是考虑整个排队系统
顾客（船东）
服务机构（港口）
求使双方总费用最小的最优策略（服务率μ）。
单位服务率是一小时C2元，即若港口每小时可装卸完一条船，此种服务能力，一小时价值C2元。
参考计算机网络中的参数含义，1/μ（比特/报文），1/(μc)=(比特/报文)×(秒/比)=秒/报文，若隐含服务能力C，则1/(μc)就可表示为1/μ；
类似的，港口参数含义如下：
1/μ(小时/船)（隐含港口服务能力C）， 则μ(船/小时)即为港口每小时可装卸船数。 平均队长E(n)=ρ/(1-ρ)=λ/(μ-λ) ∴每小时船方损失费用 λc1/(μ-λ)元
每小时服务机构(港口)费用μc2 ， 每小时总费用 F=[λc1 /(μ-λ)] +μc2.
2
令dF/dμ= -λc1/[(μ-λ) ]+ c2 = 0
可求出极值点 μ*=λ+
?c1c
2
223
因为dF/dμ=2λC1/(μ-λ) > 0 (μ>λ)
即μ*是使整个系统总费用最小的服务率μ(因为二阶导数>0，故一阶导数是增函数,则函数是凸的，故极值点μ*处函数取极小值) 。
12．试用类似对N=λT作直观论证的方法，论证E(q) = λE(w)。 答案：
[提示，把等待部分看成一个网络，顾客流随机地进入（等待接受服务）和离开（即将被服务）网络]。
13．某火车站每小时平均有3000旅客进入，而站内通常平均有1000个旅客，每个旅客在火车站平均停留时间是多少？
答案：
λ=3000人/h N=1000人
按利特尔定律每个旅客在火车站平均停留时间是： T?N??1000人1?h
3000人/h3
14．进入一个M/M/1排队系统的顾客到达率是每小时20个，服务速率是每小时40个，求排队系统中平均顾客数和正在接受服务的顾客平均数。
答案：
M/M/1 排队， λ=20人/h， μ=40人/h。 ρ= λ/μ=0.5
平均顾客数（平均队长） E(n)??1???0.5?1，
1?0.5?20.25??0.5 平均等待队长 E(q)?1??1?0.5 正在接受服务的顾客数： E(n) — E(q) = 1—0.5 = 0.5 15．在一个M/M/1排队系统中平均有10个顾客正在等待，求此排队系统服务机构的利用率。 答案： M/M/1排队
?2， 10?10???2， ?2?10??10?0 E(q)?10?1???10?102?40?10?140?服务机构利用率： ??
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