第九章 欧氏空间
9.1 基本内容与基本结论
9.1.1 基本内容 1．欧几里得空间
设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(?,?)，它具有以下性质：
(1) (?,?)?(?,?)； (2) (k?,?)?k(?,?)； (3) (???,?)?(?,?)?(?,?)；
(4) (?,?)?0，当且仅当??0时，(?,?)?0。
这里?，?，?是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为欧几里得空间。
2．酉空间
设V是复数域C上一线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作(?,?)，它具有以下性质：
(5) (?,?)?(?,?)，这里(?,?)是(?,?)的共轭复数； (6) (k?,?)?k(?,?)； (7) (???,?)?(?,?)?(?,?)；
(8) (?,?)?0，当且仅当??0时，(?,?)?0。
这里?，?，?是V中任意的向量，k是任意复数，这样的线性空间称为酉空间。
3．向量的长度
非负实数(?,?)称为向量?的长度，记为?。 4．向量的夹角
非零向量?，?的夹角??,??规定为 ??,???arccos5．向量的正交
如果向量?，?的内积为零，即(?,?)?0，那么称?，?正交，记为???。
6．基的度量矩阵
令?ij?(?i,?j),i,j?1,2,?,n，?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V的一组基，称A?(aij)nn为基?1,?2,?,?n的度量矩阵。
7．正交向量组
欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
8．正交基，标准正交基
在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
9．正交矩阵、酉矩阵
n级实矩阵称A为正交矩阵，如果ATA?E。 n级复矩阵称A为酉矩阵，如果ATA?E。
(?,?)??，0???,????。
10．欧氏空间同构
实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的，如果由V与V'有一个双射?，满足
(1) ?(???)??(?)??(?)； (2) ?(k?)?k?(?)； (3) (?(?),?(?))?(?,?)。
这里?,??V，k?R，这样的映射?称为V与V'的同构映射。
11．正交变换，酉变换
欧氏空间V的线性变换?如果满足
(?(?),?(?))?(?,?)
则称?为V的一个正交变换。
酉空间V的线性变换?如果满足
(?(?),?(?))?(?,?)
则称?为酉空间V的一个酉变换。
12．子空间正交、向量与子空间正交
设V1,V2是欧氏空间V的两个子空间，如果对于任意的
??V1,??V2，恒有(?,?)?0，则称V1,V2为正交的，记为V1?V2。一个
向量?，如果对于任意的??V1，恒有(?,?)?0，则称?与子空间V1正交，记为??V1。
13．子空间的正交补
子空间V2称为子空间V1的一个正交补，如果V1?V2，并且
V1?V2?V。
14．对称变换
欧氏空间V的线性变换?如果满足(?(?),?)?(?,?(?))则称?为V的一个对称变换。
15．向量之间的距离
长度???称为向量?和?的距离，记为d(?,?)。 16．最小二乘解 实系数线性方程组
?a11x1?a12x2???a1sxs?b1?0?ax?ax???ax?b?0?2ss2 ?211222
????an1x1?an2x2???ansxs?bn?0可能无解，即任何一组实数x1,x2,?,xs都可能使
?(ai?1ni11x?ai2x2???aisxs?bi)2 (1)
不等于零。使式(1)成立的最小实数组x10,x20,?,xs0称为方程组的最小二乘解。
17．对称矩阵，Hermite矩阵
如果AT?A，则称矩阵A为对称矩阵。如果AT?A，则称矩阵A为Hermite矩阵。
18．Hermite二次型
设A为Hermite矩阵，二次齐次函数
f(x1,x2,?,xn)???aijxixj?XTAX
i?1j?1nn称为Hermite二次型。
9.1.2 基本结论
1．柯西－布涅柯夫斯基不等式
欧氏空间中V的任意向量?,?有?,????，当且仅当?,?线性相关时，等号才成立。
2．度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的。 3．n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。 4．对于n维欧氏空间中任意一组基?1,?2,??n，都可以找到一组正交基?1,?2,??n，使
L(?1,?2,?,?i)?L(?1,?2,?,?i),i?1,2,?,n 其中
?1??1,?k??k?(?k,?1)(?,?)?1??kk?1?k?1,k?2,?,n。 (?1,?1)(?k?1,?k?1)5．A?(aij)nn是正交矩阵?ATA?E?AAT?E?A?1?AT ?a1ia1j?a2ia2j???anianj???0, 当i?j
?1,当i?j?0, 当i?j
?1,当i?j ?ai1aj1?ai2aj2???ainajn?? ?A是n维欧氏空间V中两组标准正交基之间的过渡矩阵 ??(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)A，?其中是正交变换，
?1,?2,?,?n是V的一组标准正交基。
6．?1,?2,?,?n是n维欧氏空间的一组标准正交基
?0, 当i?j ?(?i,?j)??1,当i?j??基?1,?2,??n的度量矩阵为单位矩阵。
?存在标准正交基e1,e2,?,en及正交矩阵Q，使
(?1,?2,?,?n)?(e1,e2,?,en)Q
7．两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。 8．设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，以下四个命题是等价