化得?1,?2,?3,?4，则?1,?2,?3,?4是R4的一组标准正交基，使： L(?1,?2,?,?i)?L(?1,?2,?,?i), i?1,2,3,4
例3. 设?1?(11112222222222,,0,0)，?2?(,?,0,0)，?3?(0,0,,)，2222221212112211221212?1?(,,,)，?2?(,?,?,)，?3?(,,?,?)
(1) 求欧氏空间R4的一下正交变换A满足A?i??i，i?1,2,3； (2) 求A在基?1?(1,0,0,0)，?2?(0,1,0,0)，?3?(0,0,1,0)，?4?(0,0,0,1)下
的矩阵；
(3) 问满足这(1)中个条件的正交变换共有几个？
分析：此题主要考察正交变换的定义及两组基在正交变换下的相互转换，以及任一组基在正交变换下的矩阵等概念，此类题型是本章的重点与难点，需要正确理解正交变换的定义及正交矩阵及其与正交变换的对应关系。
解：(1)令?4?(0,0,111122,?)，?4?(,?,,?)，则?1,?2,?3,?4及
222222?1,?2,?3,?4均为欧氏间的标准正交基，作一个正交变换A将?1,?2,?3,?4(a1,a2,a3,a4)?分别变为
?1,?2,?3,?4，则由
2222(a1?a2)?1?(a1?a2)?2?(a3?a4)?3?(a3?a4)?422222(a1?a3,a2?a4,a2?a4,a1?a3)即为所求正交变换。 2知A(a1,a2,a3,a4)?(2)因为
?2??2?2?22?2?22??,A?2??0,?,A?3???,A?4??0,A?1??,0,0,,,0,0,0,?,?,0??2??????2?2?2???22??2?2??????所以A在这组基下的矩阵为??????220022022220?220022?0??2??2?。 2??2??0??(3)共有2个，记另一个为B： B(a1,a2,a3,a4)?
例4. 设?1,?2,?3,?4是欧氏空间V的一组标准正交基，A是V的一个线性变换，已知
A?1?2?1?3?2?3?3?3?4，
A?2?3?1?2?2?3?3?3?4， A?3?3?1?3?2?2?3?3?4， A?4?3?1?3?2?3?3?2?4，
(1) 证明A是一个对称变换；
(2) 求V的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵。 分析：此题主要考察对对称变换定义的掌握与理解，并能掌握线性变换在一组基下的对应矩阵及求一组基使得在变换下对应矩阵的具体形式。
解：(1)易见A在标准正交基?1,?2,?3,?4下的矩阵为
2(a1?a4,a2?a3,a2?a3,a1?a4)。 233??23???32?3?3?为对称矩阵，所以为对称变换。 A???3?32?3???3?3?32???(2)?E?A?(??5)3(??7)，所以特征值为5和-7。
属于特征值5的线性方程组对应的基础解系解得：
?1?(1,1,0,0),?2?(1,,0,1,0),?3?(1,0,0,1)将其单位正交化得?1,?2,?3。同理得
对特征值-7所对应齐次线性方程组可得一单位正交化向量?4。令
?1? ?3?66622?1??2??3， ?1??2，?2?6632211113333?1??2??3??4，?4??1??2??3??4。
22226662A在这组基下的矩阵为对角则?1,?2,?3,?4是V的一组标准正交基，
?5???5?阵?。 ??5????7??? 9.6 练习题
1．基本题
1. 在欧氏空间R4中，求一个单位向量与(1,1,0,0),(1,1,?1,?1),(1,?1,1,?1)都正交。
2. 设?1,?2,?,?n是欧氏空间V的一组基，试证：如果?1,?2,?,?n两两正交，那么这组基的度量矩阵是对角矩阵。
?1101???121?1?3. 求欧氏空间R4的一组基，以?度量矩阵。 ?01?2?1???1?1?110???4. 设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组标准正交基，试证：
?1??1??2??3，?2??1??2??3，?3??1??2??3也是V的一组
232313231323132323标准正交基。
5. 设?1,?2,?3是欧氏空间V的一组标准基，这组基的度量矩阵是
?1?12????12?1??，再设?1??1??2 ?2?16???(1) 证明?1是一个单位向量。 (2) 求a使?1与?2??1??2?a?3正交； (3) 把?1,?2扩充成V的一组标准正交基。
6. 设?1,?2,?3,?4是欧氏空间V的一组标准基，W?L(?1,?2)，其中
?1??1??3，?2?2?1??2??4，
(1) 求W的一组标准正交基； (2) 求W?的一组标准正交基。
?2x1?x2?x3?x4?07. 求实系数齐次线性方程组?的解空间W的一
x?x?x?0123?组标准正交基，并求W?。
8. 设?是n维欧氏空间V中的一个非零向量，用W表示V中全部与?正交的向量所成的集合，试证W是V的一个n?1维子空间。
9．设?是欧氏空间V到V'的一个同构映射，试证：如果?1,?2,?,?n是V的一组标准正交基，则?(?1),?(?2),?,?(?n)是V'的一组标准正交基。
10．设?是欧氏空间V到V'的一个同构映射，W是V的一个子空间，?是V中的一个向量，证明：如果??W，则???????W?。
11．设A是n维欧氏空间V中的一个正交变换，W是A的一个不变子空间，证明：W的正交补W?也是A的不变子空间。
12. 设?1,?2,?3,?4是欧氏空间V的一组标准正交基，A是V的一个线性变换，已知A?1??1??2??3??4，A?2???1??2??3??4，
A?3???1??2??3??4，A?4??1??2??3??4，证明：(1)A是一个对称变
换；(2)求V的一组标准正交基，使A在这组基下的矩阵为对角矩阵。
13．设?1,?2,?3,?4是欧氏空间V的一组基，已知?1,?2,?3,?4度量
?11?10???12?11?矩阵是???1?12?1?，求V的一组标准正交基。
???01?14???14．在欧氏空间R4中，设?1?(1,?1,1,0)，?2?(1,0,2,?1)，?3?(1,1,1,1)求正交的单位向量组?1,?2,?3使得L(?1,?,?i)?L(?1,?,?i),i?1,2,3。
15．设?1,?2,?3,?4是欧氏空间V的一组标准正交基，再设
?1??1??2??3?2?4，
?2??1??2??3?4?4， ?3??1?3?2??3?8?4， W?L(?1,?2,?3)，
求W和W?的一组标准正交基。
16．设V1和V2都是欧氏空间V的子空间，且维(V1)?维(V2)，证明在
V2中必有非零向量与V1中的一切向量正交。
17．证明：Rn的任一个子空间都是某个实系数齐次线性方程组