的解空间。
18．证明上三角的正交矩阵必为对角矩阵，且主对角线上的元素为1或－1。
19．如果n维欧氏空间V的线性变换，A既是正交变换，又是对称变换，则可找到V的一组标准正交基，使在这组基下的矩阵为
?1????????1??。
?1?????????1???20．设A，B是欧氏空间V的两个线性变换，且对V中任意向量?均有(A?,A?)?(B?,B?)。证明A的值域AV与B的值域BV同构。
2．提高题
1．设f是有限维Enclid空间V上的正交变换。 (1) 证明：f的特征值只能是1或－1；
(2) 证明：f的属于不同特征值的特征向量相互正交； (3) 如果1和?1都是f的特征值，并且V1和V?1分别表示f的属于特征值1和?1的特征子空间，若f2?I，证明：V1??V?1。
2．假设A是s?n实矩阵，在通常的内积下，A的每个行向量的长度为a，任意两个不同的行向量的内积为b，其中a,b是两个固定的实数。
(1) 求矩阵AAT的行列式；
(2) 若a2?b?0，证明：AAT的特征值均大于零。
3．已知A是n阶实对称阵，?1,?2,?,?n是A的特征值，相对应的
T标准正交特征向量为?1,?,?n。求证：A??1?1?1T????n?n?n。
4．设V是n维欧氏空间，?是正交变换，?在V的标准正交基底上的矩阵是A。证明：若?的特征值皆为实数，则A是对称阵。
5．设V是一个n维欧氏空间，?1,?2,?,?n是V的一个标准正交基，
?是V的一个线性变换，A?(aij)n?n是?关于这个基的矩阵，证明
aji?(?(?i),?j),i,j?1,2,?,n。
6．设A是一个3阶正交矩阵，且A?1。证明： (1) ??1必为A的特征值 。
0?1?(2) 存在正交矩阵Q，使得QTAQ??0cos??0?sin??0??sin??。 cos???7．设?是欧氏空间V的一个线性变换，?是同一空间的一个变换，且??,??V,(?(?),?)?(?,?(?))。证明：
(1) ?是V的线性变换
(2) ?的核等于?的值域的正交补。
8．用R[x]4表示实数域R上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得空间，其上的内积为(f,g)??0f(x)g(x)dx，设W是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求W?以及它的一个基。
9．设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，满足
??,??V,(?(?),?)??(?,?(?))，则若?是?的特征值，必有?＝0。
110．设A是n阶正交矩阵，虚复数?是其特征根，Z是属于?的特征向量，令Z?X?iY，其中X和Y为实向量，证明：X和Y的长相等且
X与Y正交。
11．在欧氏空间R3中，??(a,b,c)为一已知单位向量，线性变换?定义为?(?)???2(?,?)?,???R3。证明?是R3的一个正交变换。
b?c??0??12．设A???b0a?为实矩阵，令B?A2?qA?E，
?c?a0???q?a2?b2?c2，E为单位矩阵，问：当且仅当q为何值时，B为正交矩
阵？
13．设?是欧氏空间V的一个线性变换，且?在一标准正交基下
?211?1???12?11?的矩阵为A???1?121?，求V的一标准正交基，使?在该基下
????1112???的矩阵为对角矩阵。
14．设V是n维欧氏空间，内积记为(?,?)，又设T是V是的一个正交变换，记V1?{??V|T???},V2?{??T?|??V}，试证明V?V1?V2。
15．若W是反对称变换?的不变子空间，求证W?也是?的不变子空间。
3．考研题
1．(东南大学，2005)设V是n维Euclid空间，f是V上的线性变换，且满足条件：对任意?,??V，有(f(?),?)?(?,f(?))。证明f的属于不同特征值的特征向量是相互正交的。
2．(东南大学，2004)设?1,?2,?3为欧氏空间V的标准正交基，
???1?2?2，??2?1??2，求正交变换H，使H(?)??。
3．(大连理工大学，2003)设V是n维Euclid空间，?是欧氏空间
V的一个正交变换，?在V的标准正交基底上的矩阵是A。证明：若?的特征值皆为实数，则A为对称阵。
4．(北京交通大学，2002) ?是欧氏空间V的一个正交变换，若W是?的不变子空间，求证W?也是?的不变子空间。
5．(北京交通大学，2005)设?是n维欧氏空间V中的非零向量，定义变换如下：A(x)?x?k(x,?)? ?x?V。证明A是线性变换且是对称变换。
6．(大连理工大学，2004)设V是4维欧氏空间，?是V的一个正交变换，若?没有实特征值，求证V可分解为两个交的二维?不变子空间的直和。
7．(北京大学，2000)设实数域上的s?n矩阵A的元素只有0和1，并且A的每一行元素的和是常数r，A的每两个行向量的内积为常数，其中m?r。
(1) 求AAT； (2) 证明s?n；
(3) 证明AAT的特征值全为实数。
8．(北京大学，2001)在实数域上的n维列向量空间Rn中，定义内积为(?,?)??T?，从而Rn成为欧几里得空间。
?1?35?2???(1) 设实数域上的矩阵A???21?31?，求齐次线性方程组
??1?79?4???~~的AX?0解空间的一个正交基。
(2) 设A是实数域上的s?n矩阵，以W表示齐次线性方程组
AX?0的解空间，用U表示AT的列空间（即AT的列向量组生成的子
空间）。证明：U?W?。
9．(武汉大学，2003)设f是n维欧氏空间V的对称变换（即f是V的线性变换，且对任意?,??V,(f(?),?)?(?,f(?)))，证明：f的像子空间Imf是f的核子空间Kerf的正交补子空间。
10．(武汉大学，1996)证明n维欧氏空间中至多有n?1个向量，其两两之间的夹角都大于90?。
11．(四川大学，1996)S为n维欧氏空间V的非平凡子空间，
???V,???1??2(?1?S,?2?S?)，给定?(?)??1，证明?是的线性、对
称、幂等交换。
12．(四川大学，1998)设?1,?,?n与?1,?,?n是n维欧氏空间V的两个标准正交基，?1??1，k??1??1，??(?1??1),???V，定义
?(?)???2(?,?)?，证明：
1k(1) ?是正交变换，?(?1)??1； (2) L(?1,?,?n)?L(?(?1),?,?(?n))。
13．(四川大学，2000)设V是n维欧氏空间，?1,?2是V上的两个对称变换，?是V上的一个反对称变换，即?1,?2,?是V的线性变换，且对任意?,??V，有(?1(?),?)?(?,?1(?))，(?2(?),?)?(?,?2(?))，
2(?(?),?)??(?,?(?))。证明：?12??2??2??1??2???0。
14．(浙江大学，2001)设A?(aij)n?n是n级实矩阵，若对于内积，Rn作成一个欧氏空间，(?,?)??A?T),?,??Rn（n维实行向量空间）证明A是正定矩阵。
15．(浙江大学，2003)设V1,V2是n维欧氏空间V的子间，且V1的
维数小于V2的维数，证明： V1中必有一非零向量正交于V2的一切向量。