2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （文科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2010.4
填空题：(本题满分56分，每小题4分)
x?1x?2一．
1．函数y?的定义域是________________.
1222．设集合A?{x|??x?2},B?{xx?1}，则A?B?_______________.
343．已知△ABC中，cotA??，则cosA?_______________.
4． 若数列{an}满足：a1?1,an?1?2an(n?N?)，则前6项的和S6? .（用数字作答） 5． (x?2)6的展开式中x3的系数为_____________. 6．若球O1、O2表示面积之比
S1S2?9，则它们的半径之比
R1R2=_____________.
7．函数f(x)?8．三阶行列式
2x?4(x?4)的反函数为________________.
4?3?1251k4?2第2行第1列元素的代数余子式为?10，则k?____________．
?x?y?2?0,?9．若实数x,y满足?x?4,则s?x?y的最大值为 .
?y?5,?10．椭圆
x29?y22?1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|?4，则?F1PF2的大小为
_______________.
11．一个几何体的三个视图都是等腰直角三角形（如图），且直角边长为1，
则此几何体的体积为 .
12．有5只苹果，它们的质量分别为125 a 121 b 127（单位：克）：若该样本的中位数
和平均值均为124， 则该样本的标准差s=_____________.（克）（用数字作答）
13．某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的6道试题中，预计该学生能答对4题，但有2题会答错。规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，答对2题或3题则通过测试，则该学生通过测试的概率是______________.（用数值表示）
14．设?x?表示不超过x的最大整数，如?1.5??1,??1.5???2. 若集合A?xx??x??1?0,B??x2????1?x?2?4?，则A?B=_________. 2?二．选择题：（本题满分16分，每小题4分）
15． 复数
3?i1?i等于---------------------------------------------------------------------------------（ ）
A．1?2i B.1?2i C.2?i D.2?i 16．下列函数中，与函数y?1x 有相同定义域的是--------------------------------------（ ）
1x A .f(x)?log2x B.f(x)? C. f(x)?|x| D.f(x)?2x
????????????17．设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则------------------------（ ） ????????????????????????????????????????A.PA?PB?0 B. PB?PC?0 C. PC?PA?0 D.PA?PB?PC?0
B
A C P
第17题图
2218． 已知AC,BD为圆O:x?y?4的两条互相垂直的弦，AC,BD交于点M1,?2，且
?AC?BD，则四边形ABCD的面积等于----------------------------------------------（ ）
A 4 B 5 C 6 D 7
三． 解答题：（本大题共5题，满分78分）
19．（本题满分14分）
在?ABC中，a、b、c是?A、?B、?C的对边，已知?B?45,?C?60,
a?200?3?1，求?ABC的面积S?ABC.
?
20．（本题满分14分） 求满足
21．（本题满分16分，第一小题8分；第二小题8分）
???已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x????b?i?a.
z?1z?1?1且z?2z?R的复数z.
???3)i?yj, b=(x???3)i?yj,且满足
(1) 求点P?x,y?的轨迹方程； (2) 过点
22．（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分） 已知函数 f(x)?x?aax(a?0)
?3,0的直线l交上述轨迹于A,B两点,且AB?83,求直线l的方程.
?（1）判断并证明y?f(x)在x?(0,??)上的单调性；
（2）若存在x0，使f?x0??x0，则称x0为函数f?x?的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求a的值；
（3）若f(x)?2x在x?(0,??)上恒成立 , 求a的取值范围．
23．（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分）
设数列?an??n?1,2,??是等差数列，且公差为d，若数列?an?中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若a1?4,d?2，求证：该数列是“封闭数列”；
（2）试判断数列an?2n?7?n?N??是否是“封闭数列”，为什么？
（3）设Sn是数列?an?的前n项和，若公差d?1,a1?0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，?111?11????使lim?；若存在，求?an?的通项公式，若不存在，说明理由. ??n??Sn?9?S1S2
2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科
学 习 能 力 诊 断 卷 文科试卷参考答案及评分标准（2010.4）
一． 填空题：
1．???,?2??[1,??) 2．{x?1?x?2} 3．?5．160 6．3 7．f??1352 4. 63
(x)?12x?2(x?2) 8． ?14 169．9 10．120 11．13．
45 12．5
14．
?2?
二．选择题： 15．D 16．A 17．C 18．B
三．解答题：
19．解：A?180??B?C??75，--------------------------------------------------------------2分
00sinA?sin75?sin?45?30000??6?42----------------------------------------------------6分
由正弦定理
asinA?bsinB2??3?12?6?4?b22?b?4，-----------------------------------10分
∴S?ABC?12absinC?12?2?3?1?4??32?6?23。----------------------------14分
20．解：设z?a?bi(a,b?R)，-------------------------------------------------------------------2分
z?1z?1由
?1?z?1?z?1，
即?a?1??bi??a?1??bi
??a?1??b??a?1??b，得a?0，-------------------------------------8分
2222?z?bi，又由bi?b?2b2bi?R得
?0?b??2?z??2i------------------------------------------- 14分
???2??3)i?yi?j?x?2221．解：(1)?b?i?(x?∴x?3?(x?3，------------------------------2分
3)?y，--------------------------------------------5分
化简得y2?43x，-----------------------------------------------------8分 (2)设l:x?ty???x?ty?32?y?43ty?3,由?2??y?43x?3?y?43ty?12?0--10分
?2设A?x1,y1?、B(x2,y2)由AB?83得 1?1t2y1?y2?1?1t2??y1?y2??4y1y2?21?1t2??43t?2?48?83----12分
1?1t2?t?1?2?t?1?t??1，----------------------------------------------------------14分
22所以直线l的方程为x?y?22．解：（1）f(x)?1a?1x3?0或x?y?3?0.-------------------------------------------16分
对任意的x1,x2?(0,??)且x1?x2------------------------------------------- 1分 f(x1)?f(x2)?(1a?1x1)?(1a?1x2)?x1?x2x1x2-------------------------------- 3分
∵x1?x2?0 ∴x1?x2?0,x1x2?0
∴f(x1)?f(x2)?0，函数y?f(x)在x?(0,??)上单调递增。----------------5分