第二章二次函数
中考要求
1、了解二次函数的概念，能区分二次函数与一次函数即反比例函数，能用待定系数法求二次函数解析式
2、了解三类二次函数图像之间的关系，能根据函数解析式的关系得到图像之间的平移关系，或根据图像间的关系确定函数解析式
3、由函数解析式会确定其图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（最小）值、增减性等
4、掌握二次函数图像的性质，能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质
5、学会确定二次函数解析式及其最值，能解决二次函数中的最值问题
6、会利用二次函数的图像求相应二次方程的解或近似解
7、会根据二次函数及图像性质，结合三角形、四边形等图形的有关性质，解决综合性问题
二次函数的图像和性质考点概括聚焦
1.二次函数的定义：形如 的函数叫二次函数。 限制条件（1）自变量的最高次数是 ；（2）二次项系数 。 2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。
（1）一般式： ；
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（2）顶点式：y=a（x-h）+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（ ， ），对称轴是 。
注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。离开它用一般形式也可以。
（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=
x1?x22。
（4）对称点式：，其中（），（）为抛物线上关于对称轴对称的两个点。
注意：①当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为 。这个交点是抛物线的什么点？
②是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？
③利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。
▲三种二次函数的解析式的联系：
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针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）+k（a≠0）中，h= ；k= 当Δ=b-4ac 时，才有两根式。
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作
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用
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条 线，它是一个 对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的 点。这个结论成立的条件是自变量的取值范围是 。
（1）形状----开口大小。由 决定， 越大，开口越 。
（2）开口方向：由 决定。当a>0时，函数开口方向向 ；当a<0时，函数开口方向向 ；
（3）对称轴：直线x= ；
注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？ （4）顶点坐标公式：（ ， ）；
利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。例如：Y=2x2-4X+1 当X=
?42=-2时，Y= ，顶点坐标为（ ， ）
可见，必须记住顶点横坐标公式。顶点纵坐标公式记不住也没有关系。
（5）增减性：分对称轴左右两侧描述。
当a>0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而 ；在对称轴右侧，即x
时，y随着x的增大而 ；当a<0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而 ；在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而 ； （6）最值：特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内 ①若顶点横坐标在自变量的取值范围内
当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最 值，并且当x= ，y最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。 ②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。 （7）y=ax2+bx+c与坐标轴的交点
①与X轴的交点
求法：解方程 ，其求根公式是 。 个数：当Δ=b-4ac 0时，抛物线与X轴有两个不同的交点；
Δ=b2-4ac 0时，抛物线与X轴没有交点； Δ=b2-4ac 0时；抛物线与X轴只有一个交点，
即顶点在 轴上。
②与Y轴的交点：（ ， ）
（8）函数值的正、负性：如图1：当x＜x1或x＞x2时，y 0； 当x1＜x＜x2时，y 0；当x=x1或x=x2时，y 0。
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如图2：当x1＜x＜x2时，y 0； 当x＜x1或x＞x2时，y 0； 当x=x1或x=x2时，y 0.
(9)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为A（x1，0），B（x2，0），则二次函数图象与X轴的交点之间的距离AB=x1?x2??x1?x2?=
2?x1?x2??4x1x2
2(10)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中a、b、c及其代数式的符号判别：
①a的符号判别---由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a 0；当开口向下时，a 0； ②c的符号判别---由抛物线的与Y轴的交点来确定：若交点在X轴的上方，则c 0；若交点在X轴的下方，则C 0；
③b的符号由对称轴来确定：对称轴在Y轴的左侧，由?在Y轴的右侧，由?b2ab2a 0知a、b同号；若对称轴
0知a、b异号。
（11）缺项二次函数的特征
①抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在Y轴上时抛物线关于 轴对称， =0；解析式为 。
②抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则 =0；解析式为 。 ③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）顶点在原点，则b= c= ，解析式
为 。
（12）抛物线的平移和轴对称
无论b，c值为多少，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=ax2的形状（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。
抛物线y=ax2+bx+C上（下）平移n（n＞0）个单位后的解析式：将原解析式中的 不变，把 转换为 ；左（右）平移n（n＞0）个单位后的解析式：将原解析式中的 不变，把 转换为 。抛物线y=ax2+bx+c关于X轴对称的抛物线解析式是 （将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）抛物线y=ax2+bx+c关于Y轴对称的抛物线解析式是 （将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）
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小结：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）待定系数a,b,c的作用
（1）a:a的符号决定 ；a的绝对值决定 （2）c决定抛物线与 轴交点的位置。 （3）b单独不能起什么作用。 根据?b2a，a，b共同决定抛物线对称轴的位置；
Δ=b2-4ac决定 ：
4、二次函数的解析式的求法----待定常数法 三种基本情况
（1）已知抛物线上任意三点的坐标，利用 式。
（2）已知抛物线的顶点和任意一点的坐标，利用顶点式简便些；
（3）已知抛物线与X轴的交点和任意一点的坐标，利用交点式简便些。
注意；当知道对称轴或顶点坐标（可能是一个坐标）时，通常将一般式与顶点坐标公式结合起来用。实际上只用一般式，不用其他两种形式就够了。 5.二次函数图象的画法
画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一般步骤 （1）利用顶点坐标公式求得顶点坐标；
（2）利用抛物线的 性列表； （3）先画对称轴，再对称描点连线。
实际上，我们解题时只需画抛物线的草图。画抛物线草图一般要体现哪几个要素呢？ 开口方向，顶点坐标，与坐标轴的交点。 6.二次函数与一元二次方程的关系
（1）从形式来看，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y= 时，得一元二次方程ax2+bx+c=0。从这个角度来看一元二次方程只是二次函数的特殊状态；
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与X轴的交点情况正好由一元二次方程ax2+bx+c=0的 决定；
（3）一般地，一元二次方程ax2+bx+c=K（a≠0）的根可以看成是直线y= 与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的交点 坐标。也就是说解方程组 与解方程ax2+bx+c=K（a≠0）是等价的。 7．二次函数的应用
二次函数的应用主要是最值问题和求某一点的坐标问题，而求二次函数的解析式是最基本的问题。
利用二次函数求最值的一般步骤： （1）引入自变量和因变量
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（2）根据实际问题的数量关系列中间变量的代数式，建立函数关系式，根据中间变量的代数式的取值范围，列不等式（组），求出自变量的取值范围 （3）利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标，判断顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内。
①若顶点横坐标在自变量的取值范围内
当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最 值，并且当x= ，y最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。 ②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。
第一讲 二次函数
学习目标
1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的性质
2、会建立简单二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围 3、会用待定系数法求二次函数的解析式 练习
1、判断下列函数哪些是二次函数
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①y=-8x2 ②S=gt2+2t(g是常数) ③S=πx2-1 ④y=mx2+kx-2 ⑤y=2 2x2、当m为何值时，y=(m-3)xm2?3m?2是二次函数？
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3、已知二次函数y=x+bx+c中，当x=1时，函数值为2；当x=2时，函数值为3.求此函数解析式，并写出二次项、一次项系数及常数项
4、已知一个圆的半径为1,若半径增加x，则面积增加y，求y与x的函数关系式；要使圆的面积增加8π，那么半径应增加多少？
5、如图在长为6米，宽为5米的客厅里，铺上一块地毯，四周留空的 宽度相同，则地毯面积S与留空宽度x的函数关系式是
x 6、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,且a+b=16.设Rt△ABC的面积为S，求： （1）S与a的函数关系式和自变量a的取值范围； （2）当S=32时，求a的值.
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