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222?c?a?b，即△ABC为直角三角形．?R?c2?1??????????l2分
18．（理）(l)证明：取AB1的中点E，AB的中点F．连结DE、EF、CF． 故EF//棱柱ABC?12BB1．又CD//12BB1.?四边形CDEF为平行四边形，?DE∥CF．又三
1是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF?平面ABC，A1B1CB，?CF?平面ABB1A1，又DE∥CF，
?CF?BB1,CF?AB，而AB?BB?1?DE?平面ABB1A1．
又DE?平面AB1D．所以平面AB1D?平面ABB1A1．??????????4分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(3aaa,,0),C(0,a,0),D(0,a,),B1(0,0,a),B(0,0,0) 222设异面直线AB1与BC所成的角为?，则????????|AB?BC|2??cos??????1??? 4|AB1|?|BC|故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为????(3)由(2)得AB1?(?24 3a2,?a2????,a),AD?(?3aaa,,) 222设n?(1,x,y)为平面AB1D的一个法向量． ??????33aax?,n?AB?(1,x,y)?(?,?,a)?0,??1??322由?得，?
????3aaa23??n?AD?(1,x,y)?(?,,)?0,y?,???2223?即n?(1,323,)??????????????6分 33显然平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)．
理科数学试题（二）（共11页） 第6页
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|(1,则cosm,n?323,)?(0,0,1)|2?23，故m,n?． ?423223221?()?()33即所求二面角的大小为
?4 ??????12分
（文）(1)设AC?BD?O．连结OE.
由题意可得
EM?12EF?12AC?AO，又?EM//AO.
?四边形EOAM为平行四边形．EO//AM. ?EO?平面EBD，AM?平面EBD． ?AM//平面EBD．?????6分 (2)连结DM,BM,MO， ?AF?AC,EC?AC，平面AFEC?平面ABCD， ?AF?平面ABCD，EC?平面ABCD．?AF?AD,EC?DC 又ABCD为菱形，?AD?DC,?DF?DE ???????????8分 又点M是EF的中点，?DM?EF,?BD?2AF,?DO???DMO?45，同理?BMO?45，?DM?BM ??12BD?AF?MO 又EF?BM?M,?DM?平面BEF. ?DM?平面EFD,?平面EFD?平面BEF???????????12分 19．（理）解：(1)?的分布列是 ? 2000 1500 1000 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2 ????????????????4分 E??2000?0.3?1500?0.3?1000?0.2?0?0.2(元)
所以，需要资金约为，1250×l000=1250000(元)． ????????????6分 (2) P(??1000)?2?0.2?0.2?2?0.3?0.2?0.2 P(??1500?)?2?0.3?0.2P0?.?12,(??200?0)?20 .3所以P(??500)?0.2?0.12?0.12?0.44??????????l2分
（文）解(1)?2000(x?3?0.0001?0.00015)?1,?x?0.00005??????6分
理科数学试题（二）（共11页） 第7页
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(2)?该在校获得助学金学生中，能够至少获得1500元助学金的概率为
P?2000(0.00005?0.0001?0.00015)?0.6,?1000?0.6?600
?该校高三年级学生至少获得1500元助学金的同学有600人．???????l2分 ?b?1,?3?c20．（理）解：(1)依题意可得??，解得a?2,b?1． ,2?a?a2?b2?c2,?所以，椭圆C的方程是
x24?y?1????????4分
2?x22?y?1?(2)由?4 ?x?my?1?得(my?1)2?4y2?4，即(m2?4)y2?2my?3?0 ???????????6分 设A(x1,y1)，B(x2,y2) 则A'(x1,?y1)．且y1?y2??2mm?42,y1y2??3m?42．???????7分 x?x1x2?x1?2经过点A'(x1,?y1)，B(x2,y2)的直线方程为y?y1y2?y1?． 令y?0，则x?x2?x1y2?y1y1?x1?(x2?x)y?x(y?y)11112y1?y2x1y?1x2yy1?y2??????9分
又?x1?my1?1,x2?my2?1． ?当y?0时， x?(my2?1)y1?(my1?1)y2y1?y2?2my1y2?(y1?y2)y1?y2??6m2m?4m?4?4
2m?2m?4?2m2这说明，直线A'B与x轴交于定点(4,0)????????????????12分
???????????????????22|PN|?|MN|?PM?NM（文）解：（1）设P(x,y)，代入．得(x?1)?y?1?x．
化简得y?4x????????????????????3分
（2）将A(m,2)代入y?4x，得m?1,?A(1,2)22．设直线AD斜率为k1，直线AE斜
理科数学试题（二）（共11页） 第8页
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率为k2，
?k1?k2?2,?DE两点不可能关于x轴对称．?DE的斜率必存在，设为k。
设直线DE的方程y?kx?b,D(x1,y1),E(x2,y2)． ?y?kx?b,由?2，得k2x2?2(kb?2)x?b2?0 ?y?4x, ?x1?x2??2(kb?2)k2,xx?12bk22 ???6分
?k1?k2?2,?y1?2y2?2??2(x1,x2?1) x1?1x2?1 且y1?kx1?b,y2?kx2?b ?(k?2)x1x2?(kb?2k?2)(x1?x2)?(b?2)?2?0． 22将x1?x2??2(kb?2)k2,x1x2?bk22 代入化简，得b2?(k?2)2,?b??(k?2)．??????????10分 将b?k?2代入y?kx?b得y?kx?k?2?k(x?1)?2，直线过定点(?1,?2)； 将b?2?k代入y?kx?b得y?kx?2?k?k(x?1)?2．直线过定点(1,2)即为A点，舍去． ?直线DE过定点为(?1,?2)???????12分 21．（理）解：(l)?|an|?222n?1212(xn?1?yn?1)?(xn?1?yn?1) 22 ?x?yn?1?22|an?1|(n?2),又|a1|?2
?数列?|an|?是以2为首项，公比为1222的等比数列??????????4分
1222(2)?an?1?an?(xn?1?yn?1)?an?1?an|an?1|?a|n(xn?1?yn?1?xn?1?yn?1)?(xn?1?yn?1)?12|an?1|
2 ?cos?n??|2?,?n?an?1an,?2?n??,bn?n?2??1? n421理科数学试题（二）（共11页） 第9页
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Sn?b1?b2?…?bn?(?2?1)?(2?2?1)?…?(n?2?1)??4(n?n)?n????8分
2?n2(3)假设存在最小项，不防设为cn,?|an|?2?n22?n2(22)n?1?22，
1?n
?cn?|an|log2|an|??22．由cn?cn?1得
2?n22?n?22?1?n222
即2(2?n)?1?n.?(2?1)n?22?1．
22?12?1(22?1)(2?1)(2?1)(2?1) ?n???3?2,?n?N,?n?5 *由cn?cn?1(n?2)，得n?4?2,?n?N,?n?5,?n?5 *故存在最小项，最小项为c0??（文）(1)证明：|an|??|an||an?1|?12.(n?2) 2232?212?12??????12分 22xn?yn?xn?1?yn?1?12|an?1|(n?2)， 又|a1|?5,??|an|?是首项为5．公比为12yn?1?1212的等比数列．??????4分 ?(2)?an?1?an?(xn?1?yn?1)?(?xn?1)?0,?an?1与an的夹角??90???6分
（3）?由(2)知，a1∥a3∥a5∥?．即bn?a2n?1． 由an?(xn,yn)?(??xn??1yn?1??12yn?1?12xn?1)(n?N,n?2)，得xn??*12yn?1,yn??12xn?1．
1111111(xn?2)??xn?2?yn?xn?1?(?yn?2)??yn?2
22242224111n?11n?1?an??an?2,?bn??bn?1?(?)b1?(?)(1,2)
4444?Sn?2[1?(?14)?(?x14)?…?(?214)n?1]?85[1?(?14)]????????12分
n22．解：(1)?f(x)?ln(e?a)是奇函数，
?f(?x)??f(x)，即ln(e?(e?xx?x?a)??ln(e?a)恒成立，
?xx?a)(e?a)?1,?1?ae?ae?a?1．即a(e?ex2x?x?a)?0恒成立，
故a?0??1分．
理科数学试题（二）（共11页） 第10页
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(2)由(l)知g(x)??f(x)?sinx，?g'(x)???cosx,x???1,1?
?sinx是区间??1,1?要使g(x)??f(x)?上的减函数，则有g'(x)?0恒成立，????1．
又?g(x)max?g(?1)????sin1,?要使g(x)?t2??t?1在x???1,1?上恒成立， 只需???sin1?t2??t?1在???1时恒成立即可．
?(t?1)??t2?sin1?1?0(其中???1)恒成立即可．
令h(?)?(t?1)??t2?sin1?1?0(???1)，则?t?1?0,?t?1?0,?(?1)?0,即?h??t2?t?sin1?0,而t2?t?sin1?0恒成立，?t??1???10分 (3)由(1)知方程lnx2f(x)?x2?2ex?m，即lnxx?x?2ex?m，flnx21(x)?x,f2(x)?x?2ex?m
?f'(x)?1?lnx1x2 当x??0,e?时，f'1(x)?0,?f1(x)在?0,e?上为增函数； 当x?[e,??)时，f'1(x)?0,?f1(x)在[e,??)上为减函数； 当x?e时，f1(x)1max?e． 而f2?2ex?m?(x?e)2?m?e22(x)?x 当x??0,e?时f2(x)是减函数，当x?[e,??)时，f2(x)是增函数，
?当x?e时，f22(x)min?m?e．
故当m?e2?121e，即m?e?e时，方程无实根；
当m?e2?12e，即m?e?1e时，方程有一个根；
当m?e2?1e，即m?e2?1e时，方程有两个根．??????14分
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令