圆锥曲线典型问题
解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝25， 若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜＝｜PF2｜＋｜F1F2｜，可解得：｜PF1｜＝
2
2
2
144，｜PF2｜＝，
33问题1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.
利用待定系数法求出相应的a，b，p等.
例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴， 一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦这时
|PF1|7?.
|PF2|2点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.
x2y2思路分析：设所求椭圆方程为ab1或x2y22?2?b2?a2?1(a?b?0).根据题意列出关于a,b,c
方程组，从而求出a,b,c的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离.
2222解：设椭圆的方程为xyxy??b?ca2?b2?1或b2?a2?1(a?b?0)，则?a?c?4(2?1)，解之得：
??a2?b2?c2a?42，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为
x2y2x2y232?16?1或216?32?1，离心率e?2；准线方程x??8或y??8，两准线的距离为16.
点评：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参
数有关.
演变1：如图，已知△P1OP2的面积为274，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP132为渐近线且过点P的离心率为
的双曲线方程2 P1点拨与提示 本题考查待定系数法求双曲线的方程，利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值
问题2：圆锥曲线的几何性质
由方程来讨论其性质.
oP例2：设FFx2P21、2为椭圆9?y24?1 的两个焦点，P为上一点，已知P、
FPF1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF|1｜＞｜PF2｜，求
1||PF的值.
2|思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.
若∠F｜2
＋｜PF2
2
2PF1为直角，则｜PF12｜＝｜F1F2｜，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时
|PF1||PF?2.
2|解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x>0,y>0），F1(?5,0),F2(5,0).若∠PF2F1为直角，则P（5,
4|PF1|73），这时｜PF1441｜＝3，｜PF2｜＝3，这时|PF?.若∠PF2F1为直2|2?x2y2?角，则由???1?94，解得：P(35,45)?yy55. ??x?5?x?5??1于是｜PF|PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时
1||PF?2.
2|点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用｜PF1｜＝a+ex,｜PF2｜=a-ex来求解.
演变2：已知双曲线的方程为x24?y2?1, 直线l通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|2|F1B|的最小值
点拨与提示：由双曲线的定义得：|AF51|=
2(x4551+5)=2x1+2，|BF1|=2x2+2, |F51A|2|F1B|=(
2x551+2)(2x2+2)=4x1x2+5(x1+x2)+4 ，将直线方程和双曲线的方程联立消元，
得x+x85k220k2?412=4k2?1, x1x2= ─4k2?1.本题要注意斜率不存在的情况.
问题3：有圆锥曲线的定义的问题
利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.
例3：已知某椭圆的焦点F1（－4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差k2??k1?0(??0且???1).（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足BM??MA，证明线段PM的中点在y轴上；
数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.
思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手. 解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.22故椭圆的方程为
x25?y9?1. 由点B（4，yB｜＝｜y9250）在椭圆上，得｜F20|＝5，因为椭圆的右准线方程为x?4，离心率e?45.所以根据椭圆的第二定义，有|F4252A|?5(4?x41)?5?5x1, |FC|?45(254?x45x成等差数列，5?422)?5?2.因为｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜5x1＋
5?45x2?92?5，所以： x1+x2=8,
从而弦AC的中点的横坐标为
x1?x22?4 点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.
演变3：已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线
y2??9x?36的顶点和准线. ⑴求椭圆C的方程；
⑵若点P为椭圆上C的点，△PF1F2的内切圆的半径为
57，求点P到x轴的距离； ⑶若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1PF2为钝角时求点P的取值范围.
点拨与提示：本题主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用.根据抛物线确定抛物线的顶点和准线方程，从而得到椭圆的标准方程.解题时注意椭圆的定义的运用.
问题4：直线与圆锥曲线位置关系问题
利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.
例4：抛物线C的方程为y?ax2(a?0)，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两
条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足
（Ⅲ）当?=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围. 思路分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解. 解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y?ax2（a?0）得，焦点坐标为(0,14a)，准线方程为y??14a． （Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y?y0?k1(x?x0)，直线PB的方程为y?y0?k2(x?x0)． 点P(x?y?y0?k1(x?x0)?①0,y0)和点A(x1,y1)的坐标是方程组???ax??②的解．将②式代入①式??y2得ax2?k11x?k1x0?y0?0，于是xk11?x0?a，故xk1?a?x0 ③ 又点P(x??y?y0?k2(x?x0)?④0,y0)和点B(x2,y2)的坐标是方程组???y?ax2 ?⑤的解．将⑤式代入④式得ax2?kk22x?k2x0?y0?0．于是x2?x0?a，故x?k22a?x0． 由已知得，k2???k?1，则x2??ak1?x0． ⑥
设点M的坐标为(x??x1M,yM)，由BM??MA，则xx2M?1??．
将③式和⑥式代入上式得x?x0??x0M?1????x0，即xM?x0?0．
∴线段PM的中点在y轴上．
（Ⅲ）因为点P(1,?1)在抛物线y?ax2上，所以a??1，抛物线方程为y??x2． 由③式知x2得y21??k1?1，代入y??x1??(k1?1)．
将??1代入⑥式得xy??x2得y22?k1?1，代入2??(k2?1)．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
A(?k21?1,?k21?2k1?1)，B(k1?1,?k1?2k1?1)．
于是???AP??(k?2,k2)，???AB?11?2k1?(2k1,4k1)，
???AP?????AB??2k1(k1?2)?4k21(k1?2k1)?2k1(k1?2)(2k1?1)． 因?PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有???AP?????AB??0．
求得k11的取值范围是k1??2或?2?k1?0．又点A的纵坐标y1满足y1??(k1?1)2，故当k2时，y?1111??1??1；当2?k1?0时，?1?y1??4．即y1?(??,?1)?(?1,?4)
点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自
己的运算能力.
演变4. (05年重庆)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3,0). (1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：y?kx?2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA?OB?2(其中O为原点)，求k的取值范围.
问题5：轨迹问题
根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.
例5. （05年江西）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； （2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹
思路分析：（1）由直线MF（或ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去
y0即得到G的轨迹方程（参数法）.
解：（1）设M（y20,y0），直线ME的斜率为k (l>0) y M 则直线MF的斜率为－k，方程为y?yy20?k(x?0).
BO A 2Ex ∴由???y?y 0?k(x?y0)，消x得ky2?y?y0(1?kyF
??y2?x0)?0
解得y1?ky0(1?ky2F?k,?x0)F?k2 1?ky01?ky02∴kEF?yE?y?Fk?kkx?x?2???1(定值) EF(1?ky0)2(1?ky0)?4ky02yk2?k2k20所以直线EF的斜率为定值.
（2）当?EMF?90?时,?MAB?45?,所以k?1,直线ME的方程为y?y20?k(x?y0) 由???y?y20?x?y0得?E((1?y?y2?x0)2,1?y0)
同理可得F((1?y20),?(1?y0)).
?2xxM?xE?xFy0?(1?y3y20)2?(1?y0)22?0设重心G（x, y），则有????3?3?3 ?x?xM?xE?xF?y0?(1?y0)?(1?y0)?3??y0?33消去参数y得y20?19x?2227(x?3). 点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.
x2y2演变5：已知椭圆a2?b2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q
是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，
点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0. （Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|Fc1P|?a?ax； （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F21MF2的面积S=b.若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由. 点拨与提示：本题在求点T的轨迹用的是代入法：即用T点的坐标将Q点的坐标表示出来，再代入Q所满足的曲线方程即可.
问题6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题
建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.
例6：点A、B分别是椭圆
x236?y220?1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA?PF.
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值. 思路分析：设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值. [解]（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(x,y),则???AP?={x+6, y},???FP?={x－4, y},由已知可得
?x2y2 ??36?20?1 则2x2+9x－18=0, x=3??(x?6)(x?4)?y2?02或x=－6.
由于y>0,只能x=3533532,于是y=2. ∴点P的坐标是(2,2)
(2) 直线AP的方程是x－3y+6=0. 设点M(m,0),则M到直线AP的距离是
m?62. 于
是
m?62=m?6,又－6≤m≤6,解得m=2.
椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有 d2?(x?2)2?y2?x?4x2?4?205499?x29?(x2?2), ?15由于－6≤m≤6, ∴当x=92时,d取得最小值15
点评：解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.
ly 1 l P x 演变6：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，M A1 F1 O F2 A2 焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用
m表示)．
点拨与提示：（1）待定系数法；（2）利用夹角公式将∠F1PF2的正切值用y0表示出来，利用基本不等式求其最值.
演变7：（05年全国）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦
点F的直线交椭圆于A、B两点，???OA?????OB?与?a?(3,?1)共线. （1）求椭圆的离心率； （2）设
M为椭圆上任意一点，且????OM??????OA??????OB?(?,??R)，证明?2??2为定值.
点拨与提示：（1）将AB的方程与椭圆方程联立成方程组，然后求解；（2）将M点的坐标用A、B的坐标表示出来，代入到椭圆方程，结合韦达定理求解.
问题7：与圆锥曲线有关的对称问题
利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.
例7：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=
12x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程
思路分析： 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理
解法一 由e=c2a2?b2a?2,得a2?12,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上
则x12+2y12=2b2,xy22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
y1?2x?x??x1?x2y.
122(1?y2)设AB中点为(x0,y0)，则kxAB=－
02y，又(x0,y0)在直线y=1x上，y0=12xx0,于是－0=－1，kAB=022y0－1，设l的方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),
?y?则???x??b?1?x??1 ?y???2??x??b 解得??y??1?b2?1由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=
9,a2?9168 ∴所求椭圆C的方程为8x2?16y2 =1,l的方程为y=－x+199 解法二 由e=c2a?2,得a2?b2?1,从而a2=2b2
,c=ba22
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),
的方程，得(1+2k2
)x2
－4k2
x+2k2
－2b2
=0,则xx4k2将l的方程代入C1+2=1?2k2,y1+y2=k(x1－1)+k(x2
－1)=k(x1+x2k2)－2k=－1?2k2
直线l y=
1x?x2y1?y22x过AB的中点(12,2), ?k2则
2?1?2k,解得k=0，或k=－11?2k21?2k2 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一
点评：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题，成为解决本题的关键.注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论.
演变8：（05年湖南）已知椭圆C：x2y2a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率
为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM＝λAB.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
点拨与提示：（1）由A、B的坐标求出M点的坐标（x0,y0），代入椭圆的方程即可；（2）利用等腰三角形的性质|PF1|=|F1F2|来求λ的值.
专题小结
1、求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意
义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.
2、涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.
3、直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.
4、对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.
5、与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明. 【临阵磨枪】
一．选择题
1．椭圆的焦距是它的两条准线间距离的
13，则它的离心率为（ ） A．
3 B. 3623 C. D. 636 2．动点M（x，y）到点F（4,0）的距离，比到直线x+5=0的距离不1，则点M的轨迹方程为（ ）
A. x+4=0 B. x-4=0 C. y2=8x D. y2=16x
3．设定点M（3，
103）与抛物线y2=2x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1+d2取最小值时，P点的坐标为（ ）
A. （0,0） B. （1，2） C. （2,2） D. （1,?182） 4．抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m,－3）到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是（ ）
A. y=4 B. y=－4 C. y=2 D. y=－2
5．设F（c,0）为椭圆x2y2a2?b2?1(a?b?0)的右焦点，椭圆上的点与点F的距离的最大值
为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离是
12(M?m)的点是（ ） A.（c,?ba） B.（0，?b） C.（?c,?ba） D.以上都不对
6 中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐
标为
12，则椭圆方程为( )