2x22y22x2A.??12y2C.x2y2x22575 B.75?25?125?75?1 D.y275?25?1 7x24 斜率为1的直线l与椭圆
+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( ) A 2 B 455 C 4108105 D 5
8 抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )
A x3=x1+x2 B x1x2=x1x3+x2x3 C x1+x2+x3=0 D x1x2+x2x3+x3x1=0
9 已知A、B、C三点在曲线y=x上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积
最大时，m等于( )
A952 D 3
B
4 C 32 10 设u,v∈R，且|u|≤2,v＞0,则(u－v)2+(2?u2?9)2v的最小值为( )
A 4
B 2
C 8
D 22
11 直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________
12 在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________
13 A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=
?2,则椭圆
离心率的范围是_________
14 已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________
15 已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线yBl与该抛
物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p
(1)求a的取值范围
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最oNx大值 16 已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两A点，若另一条直线l经过点P(－2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围 17 如图，弧ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆D心，
且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变 Q(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且AOBM在
D、N之间，设
DM=λ，求λ的取值范围DN 已知圆C21)2
x218 1的方程为(x－2)+(y－=20y23,椭圆C2的方程为a2?b2=1(a＞b＞0)，C2的离
心率为
22，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程
19．P、Q、M、N四点都在椭圆x2?y2?1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知????与???FQ?共线，????MF?与???FN?共线，且???PF?????MF??2PF?0．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．
参考答案:
1．B 提示：依题意有2c?13?2a2c,∴ca?33.
2．D 提示：依题意M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等地，则M的轨迹方程为y2=16x.
3．C 提示：连接PF，则d1+d2＝｜PM｜＋｜PF｜≥｜MF｜，知d1+d2的最小值为｜MF｜，当且仅当M、P、F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为y?4(x?1)，与y232=2x联立可得x=2,y=2.
4．C 提示：依题意准线方程为y=
p2,且pp2－（－3）＝5，∴2＝2，故选C. 5．B 提示：M＝a+c，m=a－c，∴12(M?m)＝a，应选B.
6．C 提示 由题意，可设椭圆方程为 y2x222
y2x22?a?b2 =1,且a=50+b，即方程为50?b2b2=1 将
直线3x－y－2=0代入，整理成关于x的二次方程 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75
C 提示 弦长|AB|=2?4?5?t27≤410 答案55 C
?y?ax28 D 提示 解方程组?y?kx?b,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=k,x1x2=－b,xb?aa3=－k,代入验证即
可 答案 B
9 B 提示 由题意知A(1，1)，B(m,m),C(4,2) 直线AC所在方程为x－3y+2=0,
点B到该直线的距离为d=|m?3m?2|10
S1?ABC?2|AB|?d?12?10?|m?3m?2|10?11312|m?3m?2|?2|(m?2)2?4|∵m∈(1,4),∴当m?3时，S9△ABC有最大值，此时m= 答案24 B
10 C 提示 考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值 选C
x2y211．5?4 =1 提示 所求椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2| 欲使2a最小，只需在直线l上找一点P 使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解
12． 8x－y－15=0 提示 设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2)
即
y1?y2?16?kAB=8 故所求直线方程为y=8x－15xx?y
1?2y12132 21 提示 设椭圆方程为x2a?y2＜e＜2b2=1(a＞b＞0)，以OA为直径的圆： x2－ax+y2
=0,两式联立消y得a2?b2x2－ax+b2=0222
a2 即ex－ax+b=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达
定理xa2=
－a,0＜x2
＜a，即0＜a－a＜a?2＜e＜1e2e22 14 (－∞,－3]∪[1,+∞) 提示 设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)，∵BP⊥PQ，
∴t2?1(s2?1)?(t?1?t2?1)s?t=－1，即t2+(s－1)t－s+1=0， ∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0 即s2+2s－3≥0，解得s≤－3或s≥1
15 解 (1)设直线l的方程为 y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=2?4(a?p)2?4a2≤2p ∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
，又∵p＞0,∴a≤－p4
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y), 由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x=x1?x2?a?p,yy?y2x1?x2?2a=p2?12?2 ∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),
从而N点坐标为(a+2p,0），点N到AB的距离为|a?2p?a|2?2p
从而S△NAB=
12?2?4(a?p)2?4a2?2p?2p2ap?p2 当a有最大值－p4时，S有最大值为2p2
16 解 设A(x?y?kx?11,y1）,B(x222
,y2) 由??x2?y2?1,得(1－k）x+2kx－2=0, 又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点，
?1?k2??0???(2k)2?8(1?k2)?0故有???x1?x2??2k?0解得－2＜k＜－1
?1?k2??x??21x21?k2?0设Q(xx0,y0),则x0?1?x22?k?1?k2,y0?kx10?1?k2?11l的斜率为y0?0k2?1x??10?2k2k2?k?2k2?1?2?l的方程为y?12k2?k?2(x?2).
令x?0,则b?22k2?k?2,又k?(?2,?1)?2k2?k?2?(?1,2?2),即b?2?2或b??2.17 解 (1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，?∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=222?12?25＞|AB|=4
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=25,∴a=5,c=2,b=1
∴曲线C的方程为x2+y2
=15
(2)设直线l的方程为y=kx+2，代入x2+y2
=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=05
Δ=(20k)2－4315(1+5k2)＞0,得k2＞35 由图可知
DMDN?x1x=λ 2y?D?20k?x1?x2??1?5k2由韦达定理得N?
???x1?x152?1?5k2x2将xx1=λx2代入得
1ox?2M??(1??)2x2400k2??(1?5k2)215，两式相除得????x22?1?5k2(1??)2??400k28015(1?5k2)?3(5?1 k2)?k2?35,?0?151208016k2?3,?5?k2?5?3,即4?3(1?3
k2?5)?4?(1??)2??163,???DM1DN?0,?解得3???3
① ???x1x?DM,M在D、N中间，∴λ＜1 ②
2DN
又∵当k不存在时，显然λ=
DM?1 (此时直线l与y轴重合)DN3 2x2 解 由e=y2182,可设椭圆方程为2b2?b2=1,
又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,
22222222又x12b?y1xyx?xy?y2b2?1,2212122b2?b2=1,两式相减，得2b2?b2=0, 即(xy1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=01?y2 化简得
x?x=－1,故
12y直线AB的方程为y=－x+3,
A代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0 有Δ=24b2－72＞0,
oxB
又|AB|=2(x21?x2)?4x1x2?203, 得2?24b2?72209?3，解得b2=8 x2故所求椭圆方程为16?y28=1 19．解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为y=kx+1
将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx－1=0
设P、Q两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x?k?2k2?2?k?2k2?21?2?k2,x2?2?k2 y从而|PQ|?(x8(1?k2)22221?x2)?(y1?y2)?M (2?k2)2
Q 2亦即|PQ|?22(1?k)F 2?k2 P (1)当k≠0时，MN的斜率为－
1，同上可推得O kN x22(?1?(12|MN|?k1
))2?(?1k)24(1?k2)(1?1 故四边形面积S?12)4(2?k2?12)2|PQ||MN|?kk (2?k2)(2?1?2k2)5?2k2?k2令u=k2?14(2?u)1k2得S?5?2u?2(1?5?2u) ∵u=k2?1k2≥2
当k=±1时u=2，S=16169且S是以u为自变量的增函数，∴
9?S?2 ②当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=22，|PQ|=2.∴S=12|PQ||MN|=2
综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为169.
【挑战自我】
已知椭圆x22a2?y?1（a＞1），直线l过点A（-a,0）和点B（a,ta）交椭圆于M，直线MO交
椭圆于点N.
（1）用a,t表示△AMN的面积S；（2）若t∈[1,2]，a为定值，求S的最大值. 解：（1）由于直线AB的方程为tx-2y+at=0, 23由??tx?2y?at?0??4a4ta??x2?a2y2?a2得M???tata4?ta?，由椭圆的对称性知?4?22,22?????t2a3?4a14ta4ta4a2N4ta?|t|?4?t2a2,?4?t2a2??， ∴ S＝?2?a?|4?t2a2?4?t2a2|?4?t2a2. （2）∵t∈[1,2]，S＝?4a2t4a24?t2a2?4
t?a2t记f(t)?4t?a2t,t?[1,2]，∵f`(t)?a2?4242t2,由f`(t)?a?t2?0,得t?a，∵a>1，∴
当1?2a?2即1＜a≤2时，f(t)在[1,2]上有唯一的极值点t?2a，
∴这时f(t)min?4a 当
2a?1即a>2时，f`(t)?a2?4t2?0,这说明f(t)在[1,2]上是增函数，所以 f(t))?4?a2min?(1
?1?a?2因此，Smin??a?4a2??4?a2a?2.
【答案及点拨】
演变1：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系
设双曲线方程为x2y2a2?b2=1(a＞0,b＞0)
yP1由e2
=c2b13a2?1?(a)2?(2)2，得ba?32 ∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=3x和y=－3oPx22x
P2
设点P1(x1,
32xPP1),2(x2,－32x2)(x1＞0,x2＞0),则由点P分P1P2所成的比λ=1PPP=2,得P点坐标为2(x1?2x2(x21?2x2)(x1?2x3,x1?2x22),又点P在双曲线x24y222)a2?9a2=1上，所以9a2?9a2=1, 即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 ①
又|OP291|?x1?4x213292131?2x1,|OP|?x2?4x2?2x23sinP2tanP2?1OP2?1Ox21?tan2P??12 1Ox1?9134?S11131227?P1OP2?2|OP1|?|OP2|?sinP1OP2?2?4x1x2?13?4,即x1x2=
92 ②
由①、②得a2
=4,b2
=9，故双曲线方程为x2?y249=1 演变2：设A(xa2 41,y1),B(x2,y2)，A到双曲线的左准线x= ─c= ─5的距离
d=|x|1+
45|=x|AF1+
415，由双曲线的定义，
d=e=52,∴|AF5451|=2(x1+5)=2x1+2, 同理，|BF51|=
2x5552+2,∴|F1A|2|F1B|=(2x1+2)(2x2+2)=4x1x2+5(x1+x2)+4 (1)
双曲线的右焦点为F2(5,0),
(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─5)，
?由?y?k(x?5)?x2消去y得 (1─4k2)x2+85k2x─20k2─4=0,
?2?4?y?1∴x85k220k2?41+x2=4k2?1, x1x2= ─4k2?1, 代入(1)整理得 2|F40k21A|2|F1B|=4k2?1?25k2?565k2?565(k?14)?8544k2?1+4=4k2?1+4=4k2?1+4=814+854(4k2?1) ∴|F1A|2|F811B|>
4; (2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF12|=|BF2|=2, ∴|AF11|=|BF1|=2a+
2=9812(双曲线的第一定义), ∴|F1A|2|F1B|=4 由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|FA|2|F8111B| 取最大值4 演变3：⑴抛物线的顶点为(4,0)，准线方程为x?9254?4?4,
设椭圆的方程为x2y2a225a2?b2?1?a?b?0?,则有c=4，又c?4， ∴a2?25,b2?9 ∴椭圆的方程为
x2y225?9?1 ⑵设椭圆内切圆的圆心为Q，则
S?F1PF2?S?QPF1?S?QPF2?S?QF1F2?12?57?PF1?PF2?F1F2??5
设点P到x轴的距离为h，则
12?4?h?5 ∴h?1054?2. ⑶设点P的坐标为(x0,y0)，由椭圆的第二定义得： PF1?a?ex0?5?45xPF?ex40,2?a0?5?5x0 由∠F1PF2为钝角知：PF21?PF22?F1F22
∴?57?x?57即为所求. 404x24：（Ⅰ）设双曲线方程为y2演变a2?b2?1 (a?0,b?0).
由已知得a?3,c?2,再由a2?b2?22,得b2?1.
故双曲线C的方程为x23?y2?1.
（Ⅱ）将y?kx?2代入x23?y2?1得 (1?3k2)x2?62kx?9?0. 由直线l与双曲线交于不同的两点得???1?3k2?0,????(62k)2?36(1?3k2)?36(1?k2)?0.
即k2?13且k2?1. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则 x62k?9????????A?xB?1?3k2,xAxB?1?3k2,由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2, 而xAxB?yAyB?xAxB?(kxA?2)(kxB?2)?(k2?1)xAxB?2k(xA?xB)?2
?(k2?1)?962k3k2?71?3k2?2k1?3k2?2?3k2?1.
于是3k2?7?3k2?913k2?1?2,即3k2?1?0,解此不等式得3?k2?3. ② 由①、②得
13?k2?1. 故k的取值范围为(?1,?33)?(33,1). 演变5：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为(x,y).由P(x,y)在椭圆上，得
|F?c)2?y2?(x?c)2?b2?b221P|?(xa2x
?(a?cax)2.由x?a,知a?cax??c?a?0，所以 |Fc1P|?a?ax.
证法二：设点P的坐标为(x,y).记|F1P|?r1,|F2P|?r2,
则r1?(x?c)2?y2,r2?(x?c)2?y2.
由rr221?2?2a,r1?r2?4cx,得|F1P|?r1?a?cax.