2019年高考模拟试卷(2)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
2}，则实数k的值为 ．1．已知集合A?{1,k?1}，B?{2,3}，且A?B?{ 2．设(1?2i)2?a?bi(a,b?R)，其中i是虚数单位，则ab? ． ()6?，3．已知函数y?f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?x2?ax(a?R)，且f2
则a? ．
4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ．
5．设点P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两互相垂 直，且PA?PB?PC?1cm，则球的表面积为 cm2．
6．已知??{(x,y)|x?y?6,x?0,y?0}，A?{(x,y)|x?4,y?0,x?2y?0}，若向区域?上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为 ． 7．将参加夏令营的500名学生编号为：001,002,?,500，采用系统抽样的方
s?0,n?1第4题图
法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分
住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ．
?ABC中，8．“角A,B,C成等差数列”是“sinC?(3cosA?sinA)cosB”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
x2y29．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的
ab一条
渐近线分为弧长为1:2的两部分，则双曲线的离心率为 ．
2?2?10．已知cos4??sin4??,??(0,)，则cos(2??)? ．
32311．已知正数a1,a2,a3,a4依次成等比数列，且公比q?1．将此数列删去一个数后得到的数列(按
原来的顺序)是等差数列，则公比q的取值集合是 ．
AB//CD，AB?6，AD?DC?2，12． 如图，梯形ABCD中， D C uuuruuuruuuruuur若AC?BD??12，则AD?BC? ．
13．设?ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列，则
sinB的取值范围是 ． sinAA B 第12题图
14．设函数f(x)满足f(x)?f(3x)，且当x?[1,3)时，
f(x)?lnx．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数
f(x1)f(x2)f(x3)???t，则实数t的取值范围为 ． x1,x2,x3，使得x1x2x3二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．
说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
在?ABC中，C?A?（1）求sinC的值；
1
?2，sinA?3． 3（2）若BC?6，求?ABC的面积． 16．（本小题满分14分）
如图，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，?A1AC?60?．在面ABC中，AB?23，BC?4，M为BC的中点，过A1,B1,M三点的平面交AC于点
N．
（1）求证：N为AC中点；
（2）求证：平面A1B1MN?平面A1ACC1． A1
B1 C1
A N
B C M
第16题图
17．（本小题满分14分）
某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3． （1）求V关于x的函数关系式；
（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的
值．
2
(第17题图)图
18．（本小题满分16分）
2x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，并且椭圆经过点(1,1)，过原点O的直
2ab线l
与椭圆C交于A、B两点，椭圆上一点M满足MA?MB． （1）求椭圆C的方程；
112（2）证明：为定值； ??OA2OB2OM2（3）是否存在定圆，使得直线l绕原点O转动时，AM恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由． y
B
O
A
第18题图
19．（本小题满分16分）
已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且满足a1?a2?a3?9，b1b2b3?27． （1）若a4?b3，b4?b3?m．
①当m?18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；
②若数列{bn}是唯一的，求m的值；
（2）若a1?b1，a2?b2，a3?b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值．
3
x
20．（本小题满分16分）
设函数f(x)?ax2?ex(a?R)有且仅有两个极值点x1,x2(x1?x2)． （1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a满足f(x1)?ex1？如存在，求f(x)的极大值；如不存在，请说明理由．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域 ．．内作答． ．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）
如图，AD是∠BAC的平分线，圆O过点A且与边BC相切于点D，与边AB、AC分别交于点E、F，求证：EF∥BC．
E B
· O
A 23F C
D
4
B．（选修４－２：矩阵与变换）
?1 0???4 3? 已知?B???4 ?1?，求矩阵B． 1 2???? C．（选修４－４：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，圆C是以点C(2,?)为圆心，2为半径的圆．
6（1）求圆C的极坐标方程；
5?（2）求圆C被直线l:???所截得的弦长．
12 D．（选修４－５：不等式选讲） 设正数a,b,c满足a?b?c?1，求
1?1?1的最小值．
3a?23b?23c?2?
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）
直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB?AC，AB?2，AC?4，AA1?3. D是BC的中点.
（1）求直线DB1与平面AC11D所成角的正弦值； （2）求二面角B1?A1D?C1的大小的余弦值.
5
A1B1C1ACD
B