23.（本小题满分10分）
设n?N*且n?4，集合M??1,2,3,?,n?的所有3个元素的子集记为A1,A2,?,AC3．
n（1）求集合A1,A2,?,AC3中所有元素之和S；
n3C2015（2）记mi为Ai(i?1,2,?,C)中最小元素与最大元素之和，求
3n?mCi?132015i的值．
6
2019年高考模拟试卷(2) 参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1．3； 2．?12； 3．5； 4．27； 5．3?； 6．条件“角A,B,C成等差数列”?B?2； 7．14； 8．充分不必要；【解析】9；结论 “sinC?(3cosA?sinA)cosB” 3?sin(A?B)?3cosAcosB?sinAcosB?cosAsinB?3cosAcosB?cosA?0或
?．所以条件是结论的充分不必要条件．
2315?2239．； 10．?；
63???1?51?5??11．?【解析】若删去a2，则a1,a3,a4成等差数列，?2a3?a1?a4， ,?；
22????1?51?5或q?（舍去）；若删去a3，22?1?53q??q?1?2a2?a1?a4，则a1,a2,a4成等差数列，即2aq，（舍去）或?aa?q1112?1?51?5?1?5或q?（舍去）?q?或．
222?????????????????????????????????12．0；【解析】?AD?DC?CB?BA?0，?AD?BC?AB?CD，
????????????????????????????????????????2????????????????????????2?(AD?DC)?(BC?CD)?AD?BC?CD?(AD?BC)?CD?AD?BC?CD?(AB?CD)?CD，
?????????????????AC?BD??12，AB//CD，AB?6，AD?DC?2，?AD?BC?0．
5?15?1b22,)；13．(【解析】由条件得b?ac，不妨设a?b?c，则c??a?b，即22a5?1bb2bsinBbsinBa?b?c??1；同理得当时，．而，的取值范围????1?02asinAasinAa2a5?15?1,)． 是(22ln31xxx?f(x)?f(3x)，9),3[14．【解析】当x?时，?[1,3)，(,)．?f(x)?f()，?f(x)?ln，
93e333f(x)在直角坐标系内作出函数f(x)的图象，而表示的是该图象上的点与原点的连线的
xln3斜率．图象上的点(9,ln3)与与原点的连线的斜率为；当过原点的直线与曲线
9x1．?由图可知，满足题意得实f(x)?ln,x?[3,9)相切时，斜率为（利用导数解决）
33eln31数t的取值范围为(,)．
93esinB?3cosB?A??或B??即2a1q2?a1?a1q3，?q?1（舍去）或q?二、解答题
15．（1）因为在?ABC中，C?A?
?2，所以A为锐角，且cosA?1?sin2A?1?(7
326)?． 33所以sinC?sin(A??2)?cosA?6； 3（2）由正弦定理得
BCsinCBCAB，所以AB???sinAsinAsinC6?3363?23．
因为在?ABC中，C?A??2因为在?ABC中，B???(A?C)，
，所以C为钝角，且cosC??1?sin2C??1?(623． )??3333661?(?)???． 33333111所以?ABC的面积为S?ABC?AB?BC?sinB??23?6??2．
22316． (1)由题意，平面ABC//平面A1B1C1，平面A1B1M与平面ABC交于直线MN，
所以sinB?sin(A?C)?sinAcosC?cosAsinC?与平面A1B1C1交于直线A1B1，所以MN//A1B1．
CNCM因为AB//A1B1，所以MN//AB，所以． ?ANBMCN因为M为AB的中点，所以?1，所以N为AC中点．
AN (2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形，?A1AC?60?． 在三角形A1AN中，AN?1，A1A?2，由余弦定理得A1N?3， 故A1A2?AN2?A1N2，从而可得?A1NA?90?，即A1N?AC． 在三角形ABC中，AB?23，AC?2，BC?4，
则BC2?AB2?AC2，从而可得?BAC?90?，即AB?AC． 又MN//AB，则AC?MN．
因为MN?A1N?N，MN?面A1B1MN，A1N?面A1B1MN， 所以AC?平面A1B1MN． 又AC?平面A1ACC1，所以平面A1B1MN?平面A1ACC1． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为h0，高为h ．
由题意得33x?h0?10，解得h0?10?x． 662D'DCOABx232x2103则h?h0??(10?x)??100?x，
126123D''x?(0,103)．
113210332103x?100?x?x100?x． 所以，正三棱锥体积V?Sh??3343123x4103100x410x5x)??设y?V?(100?，
483484832 8
100x350x4?求导得y??，令y??0，得x?83， 12483 当x?(0,83)时，y??0，?函数y在(0,83)上单调递增， 当x?(83,103)时，y??0，?函数y在(83,103)上单调递减， 所以，当x?83cm时，y取得极大值也是最大值． 此时y?15360，所以Vmax?3215cm3．
答：当底面边长为83cm时，正三棱锥的最大体积为3215cm3．
?b22,?1?2?3?a218．（1）由题设：?解得a2?3,b2?，
2?1?1?1,??a2b2x22y2??1; ?椭圆C的方程为331122224???????2； OA2OB2OM2a2b233②直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y?kx(k?0)，
1则?MA?MB，?直线OM的方程为y??x，
k?y?kx32222 由?2得，， (1?2k)x?3?x?x?AB22x?2y?31?2k?（2）①直线l的斜率不存在或为0时，
3k2 同理?xM?2，
k?2112112?? ?2? ??2223313k22OAOBOM(1?k)?(1?k)?(1?2)?21?2k21?2k2kk?2222(1?2k)2(k?2)?? 3(1?k2)3(1?k2)?2，
112?2???2为定值； OAOB2OM2（3）由（2）得：
111112 ①直线l的斜率不存在或为0时，??????1；
OA2OM2a2b233②直线l的斜率存在且不为0时， 11111?2k2k2?2??????1
13k2OA2OM2(1?k2)?33(1?k2)3(1?k2)(1?2)?21?2k2kk?2OA?OM1??1， ?原点O到直线AM的距离d?2211OA?OM?OA2OM2 ?直线AM与圆x2?y2?1相切，
2 9
即存在定圆x2?y2?1，使得直线l绕原点O转动时，AM恒与该定圆相切． 19．（1）①由数列{an}是等差数列及a1?a2?a3?9，得a2?3，
由数列{bn}是等比数列及b1b2b3?27，得b2?3． 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
?3?2d?3q,?d?3,
若m?18，则有?2，解得? 或
q?33q?3q?18??9??d??,2． ???q??29???an?3n?3,?an??n?12,2 所以，{an}和{bn}的通项公式为?或? n?1b?3n?2??b?3(?2)?n?n ② 由题设b4?b3?m，得3q2?3q?m，即3q2?3q?m?0（*）．
因为数列{bn}是唯一的，所以
若q?0，则m?0，检验知，当m?0时，q?1或0（舍去），满足题意；
31若q?0，则(?3)2?12m?0，解得m??，代入（*）式，解得q?，
42又b2?3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意．
3所以，m?0或?．
4 （2）依题意，36?(a1?b1)(a3?b3)，
3设{bn}公比为q，则有36?(3?d?)(3?d?3q)， （**）
q记m?3?d?3，n?3?d?3q，则mn?36． q将（**）中的q消去，整理得d2?(m?n)d?3(m?n)?36?0， n?m?(m?n)2?12(m?n)?144n?m?(m?n?6)2?36d的大根为?
22 而m,n?N?，所以 (m,n)的可能取值为：
1)2,,(36),,6(1),8(,92,)4,)( 36,1) (1,36),(2,18),(3,12),(4,9．
所以，当m?1,n?36时，d的最大值为20．(1)f?(x)?2ax?ex．
35?537 ． 2 10