广东省惠州市2014届高三4月模拟考试
数 学 试 题 (理科） 2014.04
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回． 参考公式：①如果事件A、B互斥，则P(A?B)?P(A)?P(B) ②如果事件A、B相互独立，则P(A?B)?P(A)?P(B)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．设集合A={0,1},则集合A的子集的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.不等式
1?x?0的解集为（ ）． 2?xA.[?2,1] B.(?2,1]
C.(??,?2)?(1,??) D.(??,?2]?(1,??)
3．若抛物线y?2px(p?0)的焦点坐标为(1,0)，则p的值为（ ）
2A.1 B.2 C.4 D.8
224．“a?1”是“函数y?cosax?sinax的最小正周期为?”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为
全等的等腰直角三角形，如果学科网直角三角形的直角边长为1， 那么这个几何体的体积为 ( )
A.1 B.
111 C. D. 236主视图 左视图
开始 俯视图
6．程序框图的运算结果为 ( )
A.12 B.24 C.16 D.48 n?1 7.椭圆ax2?by2?1与直线y?1?x交于A、B两点，过原点与 s?1n?n?1线段AB中点的直线的斜率为
b3，则值为（ ） a2A．
3239323 B． C． D． n?4?23227否 22s?s?n是 3x2?2xy?3y28.已知x,y满足x?0,x?(y?2)?2,则 w? x2?y2的最大值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
输出s结束 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．复数i(1?i)（i为虚数单位）的虚部等于__________. 10．二项式(x?16)的展开式的常数项是__________.（用数字作答） x?x?y?2?0y?11. 已知变量x,y满足约束条件?x?1, 则的最大值是__________.
x?x?y?7?0?12．已知i,j为互相垂直的单位向量，a?i?2j, b?i??j,且a与b的夹角为锐角，
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则实数?的取值范围是 ．
13. 已知数列{an}是正项等差数列，若bn?a1?2a2?3a3???nan，则数列{bn}也为等
1?2?3???n差数列. 类比上述结论，已知数列{cn}是正项等比数列，若dn= ，则数列{dn}也为等比数列.
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题
的得分．
?x?1?cos?，14．（极坐标与参数方程）若圆C的方程为：?（?为参数），以原点O为极
y?1?sin?，?点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心极坐标为_________ ．(极角范围为[0,2?))
15．（几何证明选讲）如右图，P是圆O外一
点，过P引圆O的两条割线PAB、PCD，
PBAOCPA=AB=5，CD=3，则PC=____________．
D 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）
已知函数f(x)?cosx?sinxcosx,x?R （1）求f()的值；
2?6（2）若sin??3???). ，且??(,?)，求f(?52224
17．（本题满分12分）
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后．．．抽得两张卡片的标号分别为x、y，记??x?2?y?x． （1）求随机变量?的最大值，并求事件“?取得最大值”的概率； （2）求随机变量?的分布列和数学期望．
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18．（本题满分14分）
如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45． （1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角A?BD?C的余弦值大小.
19．（本题满分14分）
设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an?1?2Sn?2(n?N) （1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an?1之间插入n个数，使这n?2个数组成一个公差为dn的等差数列． 求证：
??AA1BCB1DC111115???????(n?N?). d1d2dn16
20．(本题满分14分)
平面直角坐标系xoy中，直线x?y?1?0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6 （1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D、E，当DE长最小时，求直线l
的方程；
（3）设M、P是圆O上任意两点，点M关于X轴的对称点为N，若直线MP、NP分
别交于X轴于点（m,0）和（n,0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若
不是，请说明理由.
21.（本题满分14分） 已知函数f(x)?ln(x?32)?,g(x)?lnx.2x
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）如果关于x的方程g(x)?1x?m有实数根，求实数m的取值集合； 2（3）是否存在正数k，使得关于x的方程f(x)?kg(x)有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.
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数学 (理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A
1.【解析】集合A?{0,1}的子集有?、{0}、{1}、{1,2}.选D.
5 D 6 B 7 B 8 A 2.【解析】?21?x?0?2?x?(x?1)(2?x)?0得：?2?x?1.选B. ?2?x?0?p2p?1,即p?2．选B. 2焦点坐为(,0),?3.【解析】y?2px的4.【解析】当a?1时,函数可化为y?cos2x,故周期?;反之，函数可化为y?cos2ax，若周期为?，则a??1.选A.
5.【解析】可知该几何体是三棱锥，底面面积为
1111，高为1，故V??1??．选D．
32626.【解析】当n?5时，s?1?2?3?4?24,选B．
227.【解析】设交点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，代入椭圆方程：ax1?by1?1，
22ax2?by2?1由两式得：
1?by1?y2y1?y2???0ax1?x2x1?x2，即，
b3b23by1?y2y中-0?-1）??0，即?.选B. ??0，可化简为：1?（?1??a2a3ax1?x2x中-03x2?2xy?3y28.【解析】已知x,y满足x?(y?2)?2,则w?可化为 22x?y22w?3?知
2xy2xy2xyw?3?；要求最大值，即求的最值，由基本不等式可222222x?yx?yx?y理科数学 第 5 页 共 13 页