20．（本题满分14分）
本小题考查利用待定系数法直线与圆的方程，以及圆中定值问题的求解。
1解：（1）因为O点到直线x?y?1?0的距离为，???????1分
2 所以圆O的半径为(12故圆O的方程为x2?y2?2.?????2分
xy（2）设直线l的方程为??1(a?0,b?0)，即bx?ay?ab?0，
abab111?2，即2?2?， ?????4分 由直线l与圆O相切，得ab2a2?b2)2?(62)?2， 211?)≥8， a2b2当且仅当a?b?2时取等号，此时直线l的方程为x?y?2?0．???6分 DE2?a2?b2?2(a2?b2)((3)设M(x1,y1)，P(x2,y2)，则N(x1,?y1)，x12?y12?2，x22?y22?2，
xy?x2y1xy?x2y1,0)，m?12直线MP与x轴交点(12，
y2?y1y2?y1xy?x2y1xy?x2y1,0)，n?12直线NP与x轴交点(12，??????10分
y2?y1y2?y12222x1y2?x2y1x1y2?x2y1x1y2?x2y1mn???y2?y1y2?y1y2?y221?(2?y1)y2?(2?y2)y1y2?y1222222?2y2?2y1y2?y12222 ??????13分
?2故mn为定值2． ??????14分
21．（本题满分14分）
本小题考查利用导数研究函数的单调区间以及用导数的方法讨论方程根的情况。
3,0)?(0,??). 212(x?1)(x?3)对f(x)求导得f?(x)? ????2分 ?2?3x3x?x2(x?)223由 f?(x)?0，得??x??1或x?3，由f?(x)?0，得?1?x?0或0?x?3.
23??)是函数f(x)的增区间； 因此 (?,?1)和（3，2解：（1）函数f(x)的定义域是(?（－1，0）和（0，3）是函数f(x)的减区间 ??????5分
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111x?m?lnx?x?m?m?lnx?x. 2221所以实数m的取值范围就是函数?(x)?lnx?x的值域 ????6分
211对?(x)求导得??(x)??.
x2（2）因为g(x)?令??(x)?0，得x?2，并且当x?2时，??(x)?0;当0?x?2时，??(x)?0 ∴当x=2时?(x)取得最大值，且?(x)max??(2)?ln2?1. 又当x无限趋近于0时，lnx无限趋近于??,?进而有?(x)?lnx?1x无限趋近于0， 211x无限趋近于－∞.因此函数?(x)?lnx?x的值域是 22(??,ln2?1],即实数m的取值范围是(??,ln2?1] ??????9分
（3）结论：这样的正数k不存在。 ??????10分
下面采用反证法来证明：假设存在正数k，使得关于x的方程
f(x)?kg(x)有两个不相等的实数根x1和x2，则
32?ln(x?)??klnx1,1?f(x)?kg(x)2x??111????f(x2)?kg(x2)?ln(x?3)?2?klnx.22?2x2?根据对数函数定义域知x1和x2都是正数。
① ????11分
②又由（1）可知，当x?0时，f(x)min?f(3)?ln(3?)?∴f(x1)=ln(x1?)?322?0 332333?0，f(x2)=ln(x2?)??0， x12x2再由k>0，可得g(x1)?lnx1?0,g(x2)?lnx2?0?x1?1,x2?1. 由于 x1?x2,所以不妨设 1?x1?x2，
3232ln(x1?)?ln(x2?)?2x12x2?由①和②可得
lnx1lnx2理科数学 第 12 页 共 13 页
3232ln(x1?)??lnx1ln(x2?)??lnx22x12x2利用比例性质得 ?lnx1lnx2ln(1?即
3232)?ln(1?)?2x1x12x2x2?.(*) ????13分
lnx1lnx2由于lnx是区间(1,??)上的恒正增函数，且 1?x1?x2,?又ln(1?lnx1?1. lnx232)?是区间(1,??)上的恒正减函数，且1?x1?x2.∴2xx3)?2x13ln(1?)?2x2ln(1?2x1?1. 2x23)?lnx12x1?∴
3lnx2ln(1?)?2x2ln(1?
23232ln(1?)?ln(1?)?x12x1x12x2x2??，这与（*）式矛盾。 2lnx1lnx2x2因此满足条件的正数k不存在 ????????14分
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