2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
kPn(k)?CnPk(1?P)n?k
V?43?R 3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题： (1)复数
1?i2?i的值是 1?i
（A）0 (B)1 (C)-1 (D)1
(2)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
x2?1? (3)lim2x?12x?x?1（A）0 (B)1 (C)
12 (D) 23(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 ．．
（A）BD∥平面CB1D1 （B）AC1⊥BD
（C）AC1⊥平面CB1D1 （D）异面直线AD与CB1角为60° （5）如果双曲线
（A）
x2y2??1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是 4246 3 （B）
26 3 （C）26 （D）23
（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是
?，且 2第- 1 -页（共12页）
?，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是 37?5?4?3?（A） （B） （C） （D）
6342（7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若 ???OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为
(A)4a?5b?3 (B)5a?4b?3 (C)4a?5b?14 (D)5a?4b?14
（8）已知抛物线y??x2?3上存在关于直线x?y?0对称的相异两点A、B，则|AB|等于
三面角B-OA-C的大小为
（A）3 （B）4 （C）32 （D）42
（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资2的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项3目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元 （10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个 （11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上， 则△ABC的边长是
（A）23
（B）
46 3（C）
317 4（D）
221 312ax?bx?1，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一2个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是
1765（A） （B） （C） （D）
12602525
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
（13）若函数f(x)=e-(m-u)2 (c是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+u= . （12）已知一组抛物线y? (14)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 .
(15)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和 ⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 . (16)下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是?. ②终边在y轴上的角的集合是{a|a=
k?,k?Z|. 2③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数y?3sin(2x?⑤函数y?sin(x???)的图象向右平移得到y?3sin2x的图象. 36?)在〔0，?〕上是减函数. 2其中真命题的序号是 （写出所言 ）
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三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知cos???113,cos(???)?,且0
2714(Ⅰ)求tan2?的值.
（Ⅱ）求?.
（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率; （Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数?的分布列及期望E?，并求该商家拒收这批产品的概率.
（19）（本小题满分12分）如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC; （Ⅱ）求二面角M?AC?B的大小; （Ⅲ）求三棱锥P?MAC的体积.
x2（20）（本小题满分12分）设F1、F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点.
4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.
已知函数f(x)?x2?4,设曲线y?f(x)在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数
（21）（本小题满分12分）
(22)(本小题满分14分)
?1?设函数f(x)??1??(n?N,且n?1,x?N).
?n??1?(Ⅰ)当x=6时,求?1??的展开式中二项式系数最大的项;
?n?f(2x)?f(2)(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞f?(x)(f?(x)是f(x)的导函数);
2n1??(Ⅲ)是否存在a?N,使得an＜??1??＜(a?1)n恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若
k?k?1?不存在,请说明理由.
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理科数学参考答案
一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分
（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C （7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B 二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分 （13）1 （14）
3? （15）x? （16）① ④
26三．解答题：
（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
21?1??2解：（Ⅰ）由cos??,0???，得sin??1?cos??1????43 727?7?∴tan??sin?4372?4383 ???43，于是tan2??2tan????cos?711?tan2?1?43247??（Ⅱ）由0??????2，得0??????2
213?3313又∵cos??????，∴sin??????1?cos2??????1?? ???1414?14?由?????????得：
cos??cos????????????cos?cos??????sin?sin??????所以??11343331???? 7147142?3
（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算，有P?A??1?PA?1?0.2?0.9984
4??（Ⅱ）?可能的取值为0,1,2
211C17C3C17C32136513?P??2?? P???0??2?，P???1??， ??22C20190C20190C20190
? P 0 136 1901 51 1902 3 190E??0?1365133?1??2?? 19019019010记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
P?1?P?B??1?13627 ?19095第- 4 -页（共12页）
所以商家拒收这批产品的概率为
27 95
（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一：
（Ⅰ）∵PC?AB,PC?BC,AB?BC?B
∴PC?平面ABC， 又∵PC?平面PAC
∴平面PAC?平面ABC
（Ⅱ）取BC的中点N，则CN?1，连结AN,MN，
PC，从而MN?平面ABC
??作NH?AC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，AC?NH， 从而?MHN为二面角M?AC?B的平面角
0直线AM与直线PC所成的角为60
0∴?AMN?60
∵PM//CN，∴MN//在?ACN中，由余弦定理得AN?AC2?CN2?2AC?CN?cos1200?3 3?1 333在?CNH中，NH?CN?sin?NCH?1? ?22MN123 在?MNH中，MN?tan?MHN???NH33223故二面角M?AC?B的平面角大小为arctan 3在?AMN中，MN?AN?cot?AMN?3?（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形
∴VP?MAC?VA?PCM?VA?MNC?VM?ACN?113?AC?CN?sin1200?MN? 3212解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD?CB，建立空间直角坐标系C?xyz（如图）
31?，设P?0,0,z??z?0?， 由题意有A?,?,0?00????22????????????则M?0,1,z0?,AM??3,?1,z0?,CP??0,0,z0?
?2?2??由直线AM与直线PC所成的解为60，得
???????????????????2z02?3?z0，解得z0AM?CP?AM?CP?cos600，即z0?0???????????31?∴CM??0,0,1?,CA??，设平面MAC的一个法向量为n??x1,y1,z1?，
?2,?2,0????2?1
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