?y1?z1?0??则?3，取x1?1，得n?1,3,?3 1y1?z1?0??22??平面ABC的法向量取为m??0,0,1?
??????m?n?3设m与n所成的角为?，则cos?????? 7m?n??显然，二面角M?AC?B的平面角为锐角， 故二面角M?AC?B的平面角大小为arccos??????CA?n1??3（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为n1??1,0,0?，则点A到平面PCM的距离h? ???2n121 7???????????????11???133?∵PC?1,PM?1，∴VP?MAC?VA?PCM???PC?PM?h??1?1? 326212
（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3 所以F1?3,0,F2x213?x,?y?x?y?3?x?1??3?3x2?8? ?124?4????????因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2
?????????当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1
??????????PF?PF???3?x,?y?,????3,0，设P?x,y?，则
?222解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F23,0，设P?x,y?，则
????2?????2?????2???????????????????????????PF1?PF2?F1F2 PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2??????????2PF1?PF2?????y2?12??x2?y2?3（以下同解法一）
??（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，
?y?x?321??x?3?2???2??2?y?kx?2??21?2联立?x2，消去，整理得：y?k??x?4kx?3?0 24????y?1?44k3∴x1?x2?? ,x1?x2?11k2?k2?44331?2?2由???4k??4?k???3?4k?3?0得：k?或k??
4?22?????????00又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0 ????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0
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?8k2?k2?1又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4? ??4?111k2?k2?k2?4443?k2?1∵??0，即k2?4 ∴?2?k?2
11k2?k2?4433故由①、②得?2?k??或?k?2
2223k2
（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。
?x??2x
'所以过曲线上点?x0,f?x0??的切线方程为y?f?xn??f?xn??x?xn?， 即y??xn?4??2xn?x?xn?
22令y?0，得??xn?4??2xn?xn?1?xn?，即xn?4?2xnxn?1
解：（Ⅰ）由题可得f'显然xn?0 ∴xn?1?xn2? 2xn（Ⅱ）证明：（必要性）
若对一切正整数n,xn?1?xn，则x2?x1，即（充分性）若x1?2?0，由xn?1?x12??x1，而x1?0，∴x12?4，即有x1?2 2x1xn2? 2xnxn2x2??2n??2?n?1?，即xn?2?n?2? 2xn2xn用数学归纳法易得xn?0，从而xn?1?又x1?2 ∴xn?2?n?2?
xn24?xn2?2?xn??2?xn???xn???0， 于是xn?1?xn?2xn2xn2xn即xn?1?xn对一切正整数n成立
?xn?2??xn?2?xn2x?2?x?2??，知n?1（Ⅲ）由xn?1?，同理，n?1
2xn2xn2xnx?2?xn?2???故n?1?
xn?1?2?xn?2?x?2x?2?2lgn从而lgn?1，即an?1?2an
xn?1?2xn?2所以，数列?an?成等比数列，故an?2即lgn?1222a1?2n?1lgx1?2?2n?1lg3， x1?2xn?2x?2?2n?1lg3，从而n?32n?1 xn?2xn?22?32n?1?1?32n?1所以xn?
?1
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（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
?1?20（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是C1???3
n?n?3563?1??1?（Ⅱ）证法一：因f?2x??f?2???1????1??
?n??n??1??1??1??2?1????1???2?1???n??n??n?nn2n22n2n?1??1???1???2?1??
?n??n?n?1??1??1??1??2?1??ln?1???2?1??ln?1???2f'?x?
?n??2??n??n??1??1??1??1??1?证法二：因f?2x??f?2???1????1???2?1????1???2?1???n??n??n??n??n?n2n22n2n?1???1?? ?n??1??1?'而2f?x??2?1??ln?1??
?n??n??1??1?故只需对?1??和ln?1??进行比较。
?n??n?1x?1'令g?x??x?lnx?x?1?，有g?x??1??
xxx?1由?0，得x?1
x''因为当0?x?1时，g?x??0，g?x?单调递减；当1?x???时，g?x??0，g?x?单调递增，
所以在x?1处g?x?有极小值1 故当x?1时，g?x??g?1??1，
从而有x?lnx?1，亦即x?lnx?1?lnx
?1??1??ln??1??恒成立。
?n??n?'所以f?2x??f?2??2f?x?，原不等式成立。
故有?1?（Ⅲ）对m?N，且m?1
1??01?1?2?1?k?1?m?1?有?1???Cm?Cm????Cm?????Cm?????Cm?? ?m??m??m??m??m?m?m?1??1?m?m?1???m?k?1??1?m?m?1??2?1?1??1?1??????????????
2!?m?k!mm!???m?1?1?1?1??2??k?1?1?1??m?1??2??1??????1???1????1????1??????1??
2!?m?k!?m??m??m?m!?m??m?1111 ?2????????2!3!k!m!1111?2????????
2?13?2k?k?1?m?m?1?2kmm2km第- 8 -页（共12页）
1?1??1??11??1?1?2??1??????????????????
?2??23??k?1k??m?1m?1?3??3
m1??1??又因C???0?k?2,3,4,?,m?，故2??1???3
?m??m?kmn1??1??∵2??1???3，从而有2n???1???3n成立，
k??m?k?1?mkkm?1?即存在a?2，使得2n???1???3n恒成立。
k?k?1?
nk2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学(含详细
解析)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、复数
1?i3?i的值是（ ） 1?i（B）1
（C）?1
（D）i
（A）0
1?i3(1?i)22i?i??i3??i3?i?i?0．本题考查复数的代数运算． 解析：选A．1?i(1?i)(1?i)2?x?12、函数f(x)?1?log2x与g(x)?2在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
解析：选C．注意 g(x)?2平移法则．
?x?1?2?(x?1)
的图象是由y?2的图象右移1而得．本题考查函数图象的
?xx2?1?（ ） 3、lim2x?12x?x?112 （D） 23(x?1)(x?1)x?1202x2?lim?或原式?lim解析：选D．本题考查型的极限．原式?lim ?．
x?1(x?1)(2x?1)x?12x?1x?14x?13034、如图，ABCD?A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ） ．．
（A）0 （B）1 （C）（A）BD//平面CB1D1 （B）AC1?BD （C）AC1?平面CB1D1
（D）异面直线AD与CB1所成的角为60?
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解析：选D．显然异面直线AD与CB1所成的角为45?．
x2y25、如果双曲线??1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（ ）
424626（A） （B） （C）26 （D）23 33解析：选A．由点P到双曲线右焦点(6,0)的距离是2知P在双曲线右支上．又由双曲线的第二定
义知点P到双曲线右准线的距离是2626，双曲线的右准线方程是x?，故点P到y轴的距离是3346． 36、设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离
都是
??，且二面角B?OA?C的大小是，则从A点沿球面经B、C两点再回到A237? 6
（B）
点的最短距离是（ ）
5?4?3? （C） （D） 432??CA????????4?．本题考查球面距离． 解析：选C．d??AB?BC2323????????????7、设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
（A）4a?5b?3 （B）5a?4b?3 （C）4a?5b?14 （D）5a?4b?14
????????????????????????????解析：选A．由OA与OB在OC方向上的投影相同，可得：OA?OC?OB?OC即 4a?5?8?5b，
4a?5b?3．
28、已知抛物线y??x?3上存在关于直线x?y?0对称的相异两点A、B，则AB等于（ ）
（A）
（A）3 （B）4 （C）32 （D）42 ?y??x2?3?x2?x?b?3?0?x1?x2??1，解析：选C．设直线AB的方程为y?x?b，由??y?x?b1111进而可求出AB的中点M(?,??b)，又由M(?,??b)在直线x?y?0上可求出b?1，∴
2222x2?x?2?0，由弦长公式可求出AB?1?1212?4?(?2)?32．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
9、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的
2倍）尽可能多地安排32倍时可获最大利润．这是最优解法．也3可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．
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