答案：?1080.
例3.(2005?湖南)自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，C． （1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （3）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论.
解析：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
*
cxn,因此xn?1?xn?axn?bxn?cxn,n?N*.(*)即xn?1?xn(a?b?1?cxn),n?N*.(**)
22 （2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得
xn(a?b?cxn)恒等于0,n?N*,所以a?b?cx1?0.即x1?
a?bc.
x1? 因为x1>0，所以a>B． 猜测：当且仅当a>b，且
a?bc时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（3）若b的值使得xn>0，n∈N*．由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知0 b?(0,1]，由此猜测b的最大允许值是1. ①当n=1时，结论显然成立. 下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*． ②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2). 综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1. 【常见误区】 1．第n项 an与项数n之间的对应关系搞错； 2．不能正确地应用前n和公式来求通项公式. 【基础演练】 1．已知数列 ?an?满足 a0?1,an?a0?a1???an?1?n?1?n?n?1? ，则当n?1时，an?（ ） 1 A．2 nB． 2C．2n?1 D．2n?1 2．将n2个正数1，2，3，??，n2填入n×n方格中， 使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等， 这个正方形就叫做n阶幻方，记f(n)为n阶幻 方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可 知f(3)=15，则f(4)=（ ） A．32 B．33 C．34 D．35 8 3 4 1 5 9 6 7 2 3．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）： 第行 11 第 26 页 共 48 页 第行 第行 ? ? （ ） D．260 34 5 6 7 22 3 则第9行中的第4个数是 A．132 B．255 C．259 f(2)4．如果 f(a?b)?f(a)?f(b)且f(1)?2,则f(1) （ ） C．2004 D．1003 ?f(4)f(3)?f(6)f(5)???f(2006)f(2005)? A．2006 B．2005 a1(3?1)5．(2004?江苏) 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn= n2(对于所有n≥1)，且 a4?54，则 a1的数值是____________. 6．已知数列 ?an?， an?1n?n?1?n?N??且数列?an?的前n项和Sn?9，那么n的 值为 ． ?x?0??y?0?y??nx?3n7．设不等式组?所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数 an(n?N*).（整 点即横坐标和纵坐标均为整数的点）． （1）求数列 {an}的通项公式； （2）记数列 {an}Tn?的前n项和为Sn，且 Sn3?2n?1.若对于一切的正整数n，总有 Tn?m，求实数m的取值范围． 18．（2002?上海）已知函数f（x）＝abx的图象过点A（4，4）和B（5，1） （1）求函数f（x）的解析式； （2）记an＝log2f（n），n是正整数，Sn是数列｛an｝的前n项和，解关于n的不等式anSn ≤0； （3）对于（2）中的an与Sn，整数96是否为数列｛anSn｝中的项?若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由. 9．（2002?上海春）某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工.奖金分 配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小.由1至n排序，第 b 1位职工得奖金a元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给 每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金. （1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a3，并用k、n和b表示ak；（不必证明） （2）证明ak＞ak＋1（k＝1，2，?，n－1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义； 第 27 页 共 48 页 （3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）．对常数b，当n变化时，求n??Pn（b）． 3．2 等差数列的通项与前n项的和 【考点透视】 一、考纲指要 1．理解等差数列的概念; 2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题. 二、命题落点 1．考查等差数列的概念、通项公式，即等差数列性质的灵活运用；如例1，例2； 2．考查等差数列的前n项和公式及其性质.如例3. 【典例精析】 lim例1：（2005?湖南）已知数列 {log2(an?1)}n?N)*为等差数列，且 a1?3,a3?9. （1）求数列 {an}1的通项公式； （2）证明 a2?a1?1a3?a22???1an?1?an?1. 解析：（1）设等差数列 {log(an?1)}的公差为D．由 a1?3,a3?9得2(logn22?d)?log22?log28,即d=1. 所以 log2(an?1)?1?(n?1)??n,即 an?2?1. 1（2）因为 an?1?an1a3?a2?1an?1?2n?12n，所以 1a2?a1????1an?1?an?121?122?123???12n 1?2?12n?12?1?12n2 例2： (2005?江苏）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且 (5n?8)Sn?1?(5n?2)Sn?An?B,n?1,2,3,?，其中A,B为常数. 1?1?1.（1）求A与B的值； （2）证明数列{an}为等差数列； （3）证明不等式5amn?aman?1对任何正整数m、n都成立. 解析：（1）由已知，得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18. 由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知 ??3S2?7S1?A?B,?A?B??28.即???2S3?12S2?2A?B,?2A?B??48. 解得 A=-20， B=-8。 （2） 由（1）得，（5n-8）Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, ① 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ② ②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④ ③ -③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. 第 28 页 共 48 页 因为 an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因为 (5n+2)?0,所以 an+3-2an+2+an+1=0 ,即 an+3-an+2=an+2-an+1, n?1. 又 a3-a2=a2-a1=5,所以数列 {an}为等差数列． （3）由（２）可知，an=1+5(n-1)=5n-4. 要证了 5amn?aman?1, 只要证5amn>1+aman+2 aman，因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证 5（5mn-4）>1+25mn-20(m+n)+16+2 aman, 因为 2aman?am?an?5m?5n?8?5m?5n?8?(15m?15n?29)=20m+20n-37,所以命题得证. 例3：（2005?上海）假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底 （1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 解析：（1）设中低价房面积形成数列 ?an?，由题意可知?an?是等差数列， n(n?1)2?50?25n?225n, 2Sn?250n?其中a1=250，d=50，则 令 25n?225n?4750,2 即 n?9n?190?0,而n是正整数,?n?10.2 ∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米. （2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列， 其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n－1由题意可知 an?0.85bn， 有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85. 由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6， ∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 【常见误区】 1．容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误； 2．不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题. 【基础演练】 1．（2006?陕西）\等式sin(α+γ)=sin2β成立\是\α、β、γ成等差数列\的 （ ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2005?山东） 于 {an} 是首项 a1?1，公差d?3的等差数列，如果an?2005，则序号n等 （ ） C．669 D．670 A．667 B．668 a53． (2004?福建)设Sn ?an?的前n项和，若a3是等差数列 1C．2 D．2 ?59,则S9S5? （ ） A．1 B．－1 第 29 页 共 48 页 4．( 2004?重庆) 若 {an}是等差数列，首项 a1?0,a2003?a2004?0,a2003.a2004?0，则使前n 项和 Sn?0 成立的最大自然数n是 B．4006 C．4007 （ ） A．4005 D．4008 15．（2003?上海）设f（x）= 2?x2.利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可 求得f（－5）+f（－4）+?+f（0）+?+f（5）+f（6）的值为_____. 6．（2001?上海）设数列｛an｝的通项为an＝2n－7（n∈N），则|a1|＋|a2|＋?＋|a15|＝ ． * 7． (2004?全国1) 等差数列{ an}的前n项和记为Sn. 已知 a10?30,a20?50. （1）求通项 an； （2）若Sn=242，求n. 8．( 2004?全国3 )设数列 2{an}是公差不为零的等差数列，Sn是数列 {an}的前n项和，且 S1?9S2,S4?4S2，求数列 {an}的通项公式. 9．（2001?全国）已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550. lim( （1）求a及k的值； （2）求 n??1S1?1S2???1Sn). 3．3 等比数列的通项与前n项的和 【典例精析】 例1：（2005?山东）21 已知数列 {an}的首项 a1?5，前n项和为 Sn，且 Sn?1?2Sn?n?5（n?N?） （1）证明数列 {an?1}是等比数列； 2n（2）令 f(x)?a1x?a2x??anx，求函数 *f(x)在点x?1处的导数f?(1)． n?2,Sn?2Sn?1?n?4两式相减得 解析：（1）由已知 Sn?1?Sn?n?5(n?N)，可得 Sn?1?Sn?2?Sn?Sn?1??1n?1，即 an?1?2an?1 从而 an?1?1?2?an?1?a1?5 当时, S2?2S1?1?5，所以 a2?a1?2a1?6又所以 a2?11，从而 a2?1?2?a1?1? 故总有 an?1?1an?1?1?2(an?1)n?N*a?5,a1?1?0an?1，．又1，从而 比的等比数列． ?2,即数列 ?an?1?是以?a1?1??6为首项，2为公 （2）由（１）知 an?3?2?1n．因为 f(x)?a1x?a2x???anx2n 所以 n?1f?(x)?a1?2a2x???nanx， 从而 f?(1)?a1?2a2???nan= ?3?2?1??2?3?22?1????n(3?2n?1) 第 30 页 共 48 页