bn?|an?3|，Sn?b1?b2??
?bn(n?N*)，
Sn?； （2）证明
bn? （1）用数学归纳法证明
(3?1)n2n?1132?33．
8．已知数列
?an?的前n项和为
Sn,Sn?(an?1)(n?N).
? （1）求
a1,a2； （2）求证数列?an?是等比数列.
an}为等比数列，
9．(2004?全国4 ) 已知数列{
a2?6,a5?162.
Sn?Sn?2 （1）求数列{
an}的通项公式； （2）设
Sn是数列{
an}的前n项和，证明
S2n?1?1.
3．5 递推数列
a1?1且an?1?(1?例1：（2005?重庆）数列{an}满足
1n?n2)an?12n(n?1).
（1）用数学归纳法证明：
an?2(n?2)；
2（2）已知不等式
ln(1?x)?x对x?0成立,证明:an?e(n?1)，其中无理数e=2.71828?.
解析：（1）①当n=2时，
a2?2?2，不等式成立.
②假设当
n?k(k?2)时不等式成立，即ak?2(k?2),
ak?1?(1?那么
1k(k?1))ak?12k?2. 这就是说，当n?k?1时不等式成立.
根据（1）、（2）可知：
ak?2对所有n?2成立.
an?1?(1? （2）由递推公式及（1）的结论有
1n?n2)an?12n?(1?1n?n2?12n)an.(n?1)
lnan?1?ln(1?两边取对数并利用已知不等式得
1n?n2?12n)?lnan
?lnan?1n?n2?12n. 故
lnan?1?lnan?1n(n?1)1?12n
(n?1).12
上式从1到n?1求和可得
lnan?lna1?11?2?2?3???1(n?1)n??122???12n?1
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1??1?1n2?1?1?1?1?2.n1n2?1?12?(12?13)???1n?1?1n?122 即
lnan?2,故an?e2(n?1).
例2：（2005?江西）已知数列
{an}的各项都是正数,且满足:
a0?1,an?1?12an(4?an),n?N. （2）求数列
（1）证明
an?an?1?2,n?N;{an}的通项公式an.
解析：（1）用数学归纳法证明：
a0?1,a1?①当n=1时，
12a0(4?a0)?32,∴
a0?a1?212，命题正确.
②假设n=k时有
ak?1?ak?2.12n?k?1时,ak?ak?1?则
ak?1(4?ak?1)?12ak(4?ak)
?2(ak?1?ak)?? 而
(ak?1?ak)(ak?1?ak)12(ak?1?ak)(4?ak?1?ak).
ak?1?ak?0.124?ak?1?ak?0,12?ak?ak?1?0.
ak?1?又
ak(4?ak)?[4?(ak?2)]?2.2∴n?k?1时命题正确.
由①、②知，对一切n∈N时有
an?an?1?2.12
an?1? （2）下面来求数列的通项：
an(4?an)?1212122[?(an?2)?4],所以
22(an?1?2)??(an?2)2，
令bn?an?2,则bn??12bn?1??2(?bn?2)2??1122211?2???2n?12n?()bn?1????()bn222,
12n?112n?1bn??(),即an?2?bn?2?()22又bn=－1，所以.
bn?例3：（2005?重庆）数列
1an?12(n?1).
{an}满足a1?1且8an?1an?16an?1?2an?5?0(n?1).记
（1）求b1、b2、b3、b4的值；（2）求数列
{bn}的通项公式及数列
{anbn}的前n项和
Sn.
a1?1,故b1?解析：（1）
11?12?2;
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a2?78,故b2?178?1243?83;a3?34,故b3?134?12?4;a4?1320,故b4?203.
(b1?（2）因
43)(b3?)?23?842?()33，
(b2?43)2424442?(),(b1?)(b3?)?(b2?)3333， 4323{bn?故猜想
}是首项为,公比q?2的等比数列.因
an?2，（否则将
an?2代入递推公式会导致矛盾）．
故an?1?因bn?1?5?2a16?8an43?1(n?1).?43?16?8an6an?3?43?20?16an6an?34343,an?1?2an?1212?2(bn?43)?83?20?16an6an?3?bn?1?,b1??0,
|bn?故
43|确是公比为q?2的等比数列.
因b1?43?23,故bn?43?13?2nbn?,
13?2?n43(n?1)
由bn?1an?12n得anbn?12bn?1,
1故Sn?a1b1?a2b2???anbn【常见误区】
?
12(b1?b2???bn)?n?3(1?2)1?2?53n?13(2?5n?1)．
n1．对递推关系求通项的方法（如解迭代法、累加法、换元转化法、归纳―猜想―证明法等）的积累，掌握常见的几种递推模型（如
nan?1?ban?c;an?1?ban?cr;an?1?anban?c）的转化方法；
2．递推数列解答题常常与函数、不等式、几何知识点交汇，综合知识的灵活运用往往影响数列题的解题成败. 【基础演练】
1．已知数列
?an?满足
a1?0,an?1?an?2n,B．
那么
a2006
的值是 （ ）
A．2004?2003
2005?2004 C．
20052 D．
2005?2006
(an?1)2．若数列{an}满足a1＝5, an＋1＝
22an?an2(n∈N)，则其前10项和是
（ ）
A．200 B．150 C．100 D．50
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3．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：
第行 第行 第行 ? 则第9行中的第4个数是
?
（ ）
C． 259 D． 260
34 5 6 7 22 3 11 A． 132 B． 255
4．数列
?an?满足
a1?
32,an?1?an?an?1，则
（ ）
C． 2
D． 3
2m?1a1?1a2???1a2005的整数部分
A． 0 B． 1
5．（2005?天津）在数列
{an}中，
a1?1，
a2?2?且
an?2?an?1???1?n?n?N?则S*100?__________.
6．数列
?an?满足
an?an?1?1?n?N?2an?1?，且
a2?1，则此数列前21项的和
S21= . an1?an．
7．已知正项数列{an}满足a1=P(0 a1 （1）求数列的通项an；（2）求证： 2?a23?a34?????ann?1?1． 8．已知正项数列 ?an?满足a1a1??n?1?a13?a （0n?a?1），且 an?1?an1?an.求证 an? （1） ;（2） ?k?1akk?1?1. 19．已知不等式 2????1n?12[log2n],其中n为大于2的整数，a1?b(b?0),an?[lognan?12n]表示不超过 log2n的最大整数. 设数列 {an}的各项为正，且满足 n?an?1,n?2,3,4,?． an? （1）证明 2b2?b[log2n],n?3,4,5,?； （2）猜测数列 {an}是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）试确定一个正整数N，使得当n?N本章单元测试 一、选择题: （本题每小题5分，共60 分．） an?时，对任意b>0，都有 15. 第 39 页 共 48 页 1．等差数列{an}中， a3?a7?a10?8,a11?a4?4 （ ） C．152 D．78 .记 Sn?a1?a2???an，则S13等于 A．168 B．156 22an??(a?a)a3,a7372．是等比数列,其中是方程2x?3kx?5?0的两根,且 ?4a2a8?1, 则k的值为 （ ） ? A． 2311 B． 2311 C． 2?23811 D． 3 ?an?满足an A．?>0 B．?<0 ?n??n,则实数的取值范围是 D．?>-3 （ ） C．?=0 Sn?4．设 12?16?112???1n(n?1),且Sn?Sn?1?34，则n的值为 （ ） A．9 B．8 C．7 D．6 （ ） 5．某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为 A．12 p B． p12 C． (1?p)12?1 D． (1?p)12 6．在数列 ?an?中,已知a1?1a2?5an?2?an?1?an(n?N?), , C．?1 D．?4 ,则 Q2006等于 （ ） A．5 B．4 7．给出一系列碳氢化合物的分子式: C6H6C10H8C14H10, , （ ） …,则该系列化合物的分子中含碳 元素的质量分数最大可无限接近于 A．95% B．96% C．97% D．98% 18．已知1是a与b的等比中项,又是 221与 a?b的等差中项,则a2a1b?b2的值为 （ ） ? A．1或 212 1D．1或 12 B．1或-3 C．1或3 29．若方程 x?5x?m?0与x?10x?n?0的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1 （ ） 的等比数列,则m：n的值为 1 A．4 B．2 C． 1 D． 24 10．等比数列 ?an?的首项为2?5,其前11项的几何平均数为2,若在这前11项中抽取一项后的集合平均数为2,则抽出的是 55（ ） A．第6项 B． 第7项 C． 第9项 D． 第11项 11．已知二次函数y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，当a=1，2，?，n，?时，其抛物线在x轴上截 lim得的线段长依次为d1,d2，?,dn,?,则 n?? (d1+d2+?+dn)的值是 （ ） 第 40 页 共 48 页