=
3?2?2?2???n?22n?-?1?2???n?=
3?n?1??2n?1?n(n?1)2?6 ．
a?1{an}例2:(2005?天津)若公比为c的等比数列的首项1且满足
（1）求c的值； （2）求数列
an?an?1?an?32(n?3,4,?)．
{nan}的前n项和
Sn．
a?can?2,an?1?can?2解析:(1)由题设，当n?3时，n，
22an?an?1?an?22?1?c212an?2，
由题设条件可得
an?2?0c，因此
?1?c2，即2c2?c?1?0c?? 解得c＝1或
(2)由(１)，需要分两种情况讨论，当c＝1时，数列
{an}是一个常数列，即
an?1 (n?N*) 这时，数列
{nan}12Sn?1?2?3???n?的前n项和
n(n?1)2c?? 当
12时，数列
{an}?是一个公比为
12的等比数列，
an?(?即
)n?1 (n?N*) 这时，数列
{nan}的前n项和
Sn?1?2(?12)?3(?12)2???n(?12)n?1 ①
?①式两边同乘
12?12，得
Sn??12?2(?12)2???(n?1)(?12)n?1?n(?12)n ②
①式减去②式，得
12121212121?(?)n1212)n(1?)Sn?1?(?)?(?)2???(?)n?1?n(??1??n(?12)n，
Sn?所以
19[4?(?1)n3n?22n?1](n?N*) {an}的首项a1?a?例3：(２００５?北京)设数列
14,且an?1?1an,??2???a?1,n?4?n为偶数,n为奇数.
bn?a2n?1?记
14,n?1,2,3,?.
（1）求a2，a3； （2）判断数列
{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （3）求n??lim(b1?b2???bn).
a2?a1?解析：（1）显然
14?a?14,a3?1212a2?1214a?183.
a4?a3?（2）因为
14?12a?38,所以
a5?a4?a?16.
第 31 页 共 48 页
所以
b1?b1?a1?141?a?14?0,b2?a3?14?12(a?14),b3?a5?14?14(a?14).
猜想：
{bn}是公比为
214的等比数列. 证明如下：
bn?1?a2n?1?因为 ?12a2n?14?1?1?11?1?1?bn?a2n?1????a2n?1???2?4?42?4?2?n?N?,?
所以
{bn}a?是首项为
114,公比为2的等比数列.
b1(1?lim(b1?b2?...?bn)?limx??x??1212n)?b11?12?2(a?14).
1?（3）【常见误区】
1．不能完整理解等比数列
?an??na1(q?1)?Sn??a1(1?qn)(q?1)?1?qq?的前n项和公式：，忽视
?1的情形.
lim2．要掌握以下几种情形的极限的求法.①利用
1nn???0②利用n??limq?0（
nq?1）③要掌握分类讨论的背景转化方法.如
q?1时转
1化为
q?1.
【基础演练】
1．（2005?江苏）在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4
＋a5＝ （ ） C．84
D．189
A．33 B．72
a1?a3?a92．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比数列，则
a2?a4?a10的值是（ ）
16
A．13 B．
1316 C．１
D．不确定
3．（2004?全国卷3）等比数列
?an?中，
a2?9,a5?243
，则
?an?的前4项和为（ ）
A． 81 B． 120 C．168 D． 192
4．（2004?浙江）已知等差数列
A． –4
?an?的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列, 则a2=
D． –10
（ ）
B． –6 C． –8
5．（2004?全国1）已知等比数列{
an}中,a3?3,a10?384,2则该数列的通项
an= .
6． (2004?北京)在函数
f(x)?ax?bx?c中，若a，b，c成等比数列且
f(0)??4则
f(x) 有最______________值（填“大”或
“小”），且该值为______________.
第 32 页 共 48 页
7．（2005?浙江）已知实数
a,b,c成等差数列，a?1,b?1,c?4成等比数列，且a?b?c?15，求a,b,c．
8．(2004?全国2)已知等差数列{
an}，
a2?9,a5?21.
（1）求{
an}的通项公式；
an （2）令
bn?2，求数列
{bn}的前n项和Sn.
9．（2005?全国3）在等差数列
{an}中，公差
d?0,a2是a1与a4的等差中项.
已知数列
a1,a3,ak1,ak2,?,akn,?成等比数列，求数列
{kn}的通项
kn.
3．4 数列的的前n项的和
n?1n例1：已知：
un?an?ab?an?2b2???abn?1?b?n?N*,a?0,b?0?.
limunn??（1）当a = b时，求数列{
an}的前n项和
Sn； （2）求
un?1.
n解析：（1）当a?b时，un??n?1?a，它的前n项和
Sn?2a?3a2?4a3????n?1?an ①
①两边同时乘以a，得
234 aSn?2a?3a?4a????n?1?an?1 ②
①
? ②，得：
23
?1?a?Sn?2a?a?a???an??n?1?an?1
a1?an?n?1若a?1?1?a?Sn??，则：
1?a??n?1?a?a
a?1?anS?an?1?1?an?2??n?2?an?1?a2?2an??2?a??n?1?得：
1?a?1?a??n?1?a?2
??n??n?1??n?n?3?若a?1Sn?2?3?，则
2
limunn?1?an?lima?n?1?（2）当a?b时，
u??n??n?1nan?1n?an??
1?qn?1q?bunn?a?1?q?q2???qn?an???当a?b时，设
a（q?1），则：
1?q u1?qnn?alim当
q?1lim?lim时，即a?bn??n??n??1?qn?1?a时，
un?1；
第 33 页 共 48 页
una1?qn???此时
un?11?qn?1．
lim?limn??unun?1n???lima?1?q1?qn?1?alimq1qnnn???1?aq?b?1n??n?1当
q?1时，即a?b时，
?q．
例2:（2005?福建）已知{
an}是公比为q的等比数列，且
a1,a3,a2成等差数列.
（1）求q的值； （2）设{
bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
解析：(1)由题意得：2a2=a1+a2,即2a2q2=a1+a1q,
?∵a1≠0,∴2q2-q-1=0, ∴q=1或q=
12
Sn?2n?(2)若q=1,则
n(n?1)2?1?n?3n2.
2Sn?bn?Sn?1?当n≥2时,
(n?1)(n?2)2?0,故
Sn?bn；
?若q=
12,则
Sn?2n?n(n?1)2?(?12)?1n?9n2,
,
2Sn?bn?Sn?1??当n≥2时,
(n?1)(n?10)2故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn；当n=10时, Sn=bn；当n≥11时, Sn 例3：（2005?湖北）设数列 {an}的前n项和为Sn=2n2， {bn}为等比数列，且 a1?b1,b2(a2?a1)?b1. （1）求数列 {an}和 {bn}cn?的通项公式； （2）设 anbn，求数列 {cn}的前n项和Tn． 解析：（1）当 n?1时,a1?S1?2; 22当n?2时,an?Sn?Sn?1?2n?2(n?1)?4n?2, 故{an}的通项公式为 an?4n?2,即{an}是a1?2,公差d?414的等差数列. q,则b1qd?b1,d?4,?q?设{bn}的通项公式为 . bn?b1q故 n?1?2?14n?1,即{bn}的通项公式为bn?24n?1. ?cn?（2） anbn?4n?224n?1?(2n?1)4n?1, 第 34 页 共 48 页 ?Tn?c1?c2???cn?[1?3?4?5?4???(2n?1)44Tn?[1?4?3?4?5?4???(2n?3)4两式相减得 23n?1n12n?1], ?(2n?1)4]3Tn??1?2(4?4?4???4?Tn?19[(6n?5)4?5].n123n?1)?(2n?1)4?n13[(6n?5)4?5],n 【常见误区】 1．在应用 an?Sn?Sn?1时忽视条件n?2； 2．在含字母参数的等比数列求和时，应分 q?1和q?1两种情况进行讨论. 3．不能正确的裂项，求倒或错位出现问题. 【基础演练】 1．（2005?重庆）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图 3-4-1所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 图3-4-1 2．（2001?天津）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是 A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列 C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等比数列又非等差数列 （ ） 3．等差数列 {an}的前n项和记为 Sn，若a2?a6?a10为一个确定的常数，则下列各数中也是 （ ） 常数的是 A．S6 B．S11 C．S12 D．S13 S104．等比数列｛an｝的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若 S5?3132，则n??Sn等于（ ） lim2 A． 2 B．－ 33 C．2 D．－2 5．2005?湖北）设等比数列 {an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 . 6．(2004?北京) 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 {an}是等和数列，且 a1?2，公和为5，那么 a18的值为______________，且这个数列的前21项和 S21的值为______________. f(x)?7．（2005?辽宁）已知函数 x?3x?1(x??1)．设数列 {an}满足 a1?1， an?1?f(an)，数列 {bn}满足 第 35 页 共 48 页