三维空间R3上凸函数的判定
刘 风
（宿州学院 数学系， 2005级数学与应用数学，安徽 宿州 234000）
摘要：本文从凸集入手，着力讨论空间R3上凸（凹）曲面的几何特征，并给出判定空间
R3上凸函数的几个充要条件。
关键词：凸集；凸域； 凸函数;上图
1引 言
在数学分析里面，我们已经讨论了平面上凸函数的一些性质，但是对于多元函数却没有给出凸函数的定义及判定凸函数的充要条件。本文以空间R3为代表，讨论R3上凸（凹）曲面的几何特征，并给出判定其凸函数的几个充要条件。 2
凸 集
定义2.1 设X是任意一实线形空间，M是X的一个集合，如果对任意的x,y?M以及???0,1?，都有
?x??1???y?M， （1）
则称集合是凸集。
例2.1 设X是任意一实线形空间，则对任意给定的非零向量z?X以及实数c，集合H??x|x?z?c,x?X?是X上的一个凸集。
证明：?x1,x2?H显然有x1?z?c,x2?z?c。令x?tx1??1?t?x2,?t??0,1?由于
t??0,1?，故有tx1?z?tc,?1?t?x2?z??1?t?c，从而有
x?z?tx1?z??1?t?x2?z?tc??1?t?c。
即得x?H，由凸集的定义可知，H是X上的一个凸集。
定义2.2 若区域D?R上任意两点的连线都含于D，则称D为凸域。即若D是
R22上的凸域，则对任意两点P1?x1,y1?,P2?x2,y2??D以及对任意的实数???0,1?，都有 P??x1??1???x2,?y1??1???y2??D 。 （2）
显然，凸域为R2上的凸集，因此易推出凸域的以下基本性质：
1> 任意多个平面凸域的交集是平面凸域。
2> 任意多个平面凸域的代数并是平面凸域，其中对任意两个凸域E与F，代数并 E?F定义为
E?F??P?x1?x2,y1?y2?|P1?x1,y1??E,P2?x2,y2??F?。 （3）
3> 任取R2上的一个凸域D，作R2到R的一个线形映射?，则??D?是R上的凸集。
3 R3上的凸函数
定义3.1 设f?x,y?为定义在凸域D?R2上的二元函数，若对D任意两点
P1?x1,y1?,P2?x2,y2?以及实数???0,1?，都有
f??x1??1???x2,?y1??1?? ?y2???f?x1,y1???1???f?x2,y2?， （4）
则称f为D上的凸函数。反之，如果总有
f??x1??1???x2,?y1??1?? ?y2???f?x1,y1???1???f?x2,y2?， （5）
则称f为D上的凹函数。
如果（4）（5）两式中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数与严格凹函数。
容易证明：若-f?x,y?为凸域D上的凸函数，则f?x,y?为凸域D上的凹函数，因此只需讨论凸函数的性质即可。下面将给出判定二元凸函数的几个充要条件。
定理3.1 设f?x,y?为定义在凸域D?R2上的可微函数，则f为凸函数的充要条件是：对D上任意两点P1?x1,y1?,P2?x2,y2?，都有
f?x2,y2??f?x1,y1??fx?x1,y1??x2?x1??fy?x1,y1??y2?y1?。 （6） x2,y??2证明：????P1?x1,y1?,P?2以D及????0,1?，设P3?x3,y3?，其中
x3??x1??1???x2,y3??y1??1???ffP3?D，由已知条件得 。显然y2?P1???P2??ff?P3???P3??fx?P3??x1?x3??fy?P3??y1?y3?， fx?P3??x2?x3??fy?P3??y2?y3?。
且有
x1?x3??1????x1?x2?,y1?y3??1????y1?y2?，
x2?x3???x2?x1?,y2?y3???y2?y1?。
将这些式子联立便有
?f?P1???1???f?P2??f?P3?。
即
f??x1??1???x2,?y1??1???y2???f?x1,y1???1???f?x2,y2?。
从而由定义3.1知f为D上的凸函数。
???设f为凸域D上的凸函数，则对D上任意两点P1?x1,y1?,P2?x2,y?以及2????0,1?恒有
f??x1??1???x2,?y1??1???y2???f?x2,y2???1???f?x1,y1?。
即得
f?x2,y2??f?x1,y1??f?x1???x2?x1?,y1???y2?y1???f?x1,y1??。
令?????f?x1???x2?x1?,y1???y2?y1??，则由题设条件知????为?0,1?内的连续可导函数，故由?L,Hospital?法则及复合函数求导法则得
ff?x2,y2??f?x1,y1??lim??0?x1???x2?x1?,y1???y2?y1???f?x1,y1??
?lim[fx?x1???x2?x1?,y1????0?y2?y1???x2?x1?
?fy?x1???x2?x1?,y1???y2?y1???y2?y1?]
?fx?x1,y1??x2?x1??fy?x1,y1??y2?y1?。
从而必要性得证。
注<1>：定理3.1的几何意义在于：凸曲面z?f?x,y?总是在它的任一切平面的上方(图略)，这是可微凸函数的几何特征。
例3.1 若函数f?x,y?为定义在凸域D?R上的可微凸函数，P0?x0,y0??D，则P0为f的极小值点的充要条件P0是为f的稳定点。 证明：???由极值的充要条件知，必要性显然。
???由f?x,y?为定义在凸域D?R上的可微函数知，?P?x,y??D有
22f?x,y??f?x0,y0??fx?x0,y0??x?x0??fy?x0,y0??y?y0?。
由P0为f的稳定点知fx?x0,y0??0,fy?x0,y0??0，进一步得f?x,y??f?x0,y0? 从而P0为f的极小值点。
定理3.2 设f?x,y?为定义在凸域D?R2上的二元函数，则f为凸函数的充要条件是：对D上任意两点P1?x1,y1?,P2?x2,y2?，函数??t;P1,P2?关于t??0,1?为凸函数，其中的??t;P1,P2?定义为
??t;P1,P2??f?tx1??1?t?x2,ty1??1?t?y2?。 （7）
证明：???????0,1?，有????1??1????0，任取D上两点P1?x1,y1?,P2?x2,y2? 由??t;P1,P2?的凸性知
f??x1??1???x2,?y1??1???y2?????;P1,P2?
????1;P1,P2???1?????0;P1,P2? ??f?x1,y1???1???f?x2,y2?。
故f为D上的凸函数。
????P1?x1,y1?,P2?x2,y2??D以及????0,1?,t1,t2??0,1?，令
x3?t1x1??1?t1?x2,y3?t1y1??1?t1?y2， x4?t2x1??1?t2?x2,y4?t2y1??1?t2?y2。
则有
?x3??1???x4???t1??1???t2?x1??1???t1??1???t2??x2，
???y3??1???y4???t1??1???t2?y1??1???t1??1???t2??y2。
??从而由f的凸性知
???t1??1???t2;P1,P2??f??x3??1???x4,?y3??1???y4?
??f?x3,y3???1???f?x4,y4?
???t1;P1,P2???1?????t2;P1,P2?。
故函数??t;P1,P2?关于t??0,1?为凸函数。
定理3.3 f?x,y?为凸域D?R2上凸函数的充要条件是：对D上任意点Pi?xi,yi?n及?i?0?i?1,2?n?,??i?1，有
i?1??f???ixi,??iyi??i?1?i?1?nnn?i?1?if ?xi,yi?。 （8）
证明：???当n?2时，?P1?x1,y1?,P2?x2,y2??D以及?i?0?i?1,2?且?1??2?1有
f??1x1??2x2,?1y1??2y2???1f?x1,y1???2f?x2,y2?。
即
f??1x1??1??1?x2,?1y1??1??1?y2???1f?x1,y1???1??1?f?x2,y2?。
故f为D上的凸函数。
???利用数学归纳法证明：当n?2时，由定义3.1知命题显然。
k假设n?k时命题成立，即?Pi?xi,yi??D以及ai?0?i?1,2?k?,?ai?1，都有
i?1??f??aixi,?aiyi??i?1?i?1?kkk?i?1aif?xi,yi?。
k?1那么当n?k?1时，现设Pk?1?D及?i?0?i?1,2?k?1?,??i?1，令ai?i?1k?i1??k?1
?i?1,2?k?，则得?ai?1，由数学归纳可知
i?1????f???ixi,??iyi??f???ixi??k?1xk?1,??iyi??k?1yk?1?
i?1i?1?i?1??i?1?kk???i?i?f??1??k?1??xi??k?1xk?1,?1??k?1??yi??k?1yk?1?i?11??k?1i?11??k?1??k?1k?1kk
??k?1f?xk?1,yk?1???1??k?1???f??aixi,?aiyi?
i?1?i?1?kk