k??k?1f?xk?1,yk?1???1??k?1??i?1kaif?xi,yi?
??k?1f?xk?1,yk?1????if?xi,yi?
i?1k?1??i?1?if?xi,yi?。
从而对任意正整数n??2?，不等式（8）恒成立。
定理3.4 设f?x,y?为定义在凸域D?R2上的二元函数,定义f的上图?epigraph?
epi?f????P,r?|P?x,y??D,r?R,r?f?P??， （9）
则f为凸函数的充要条件是：epi?f?在乘积空间R2?R上为凸集。
证明：???设epi?f?是R2?R上的凸集，则?P1?x1,y1?,P2?x2,y2??D以及
????0,1?，有
???x1,y1?,f?x1,y1????1?????x2,y2?,f?x2,y2???epi?f?。
即
???x则
f1??1???x2,?y1??1???y2?,?f?x1,y1???1???f?x2,y2???epi?f?。
??x1??1???x2,?y1??1???y2???f?x1,y1???1???f?x2,y2?。
故f为D上的凸函数。
???设f为D上的凸函数，则???x1,y1?,r1?,??x2,y2?,r2??epi?f?以及???0,1?，由epi?f?的定义知
?r1??1???r2??f?x1,y1???1???f?x2,y2?。
又由f的凸性知
?f?x1,y1???1???f?x2,y2??f??x1??1???x2,?y1??1???y2?。 因而有
???x1??1???x2,?y1??1???y2?,?r1??1???r2??epi?f?。
即
???x1,y1?,r1???1?????x2,y2?,r2??epi?f?。
故epi?f?在乘积空间R2?R上为凸集。
2例3.2 设I为任意指标集，则f?P?为?fl:l?I?是凸集D?R上的一簇凸函数，
D上的凸函数。其中f?P?定义为
f?P??supfl?Pl?I （10） ?。
fl?为
证明：容易验证epi?f???l?Iepi?fl?，由定理3.4知，对任意l?I，都有epi?凸集，则?epi?fl?也为凸集，故有epi?f?为凸集。再由定理3.4可知，f?P?为D上的
l?I凸函数。
定理3.5 设f?x,y?为定义在凸域D?R2上的可微函数，且在D上具有二阶连续偏导数，则f为D上的凸函数的充要条件是：对D上任意点P?x,y?，Hesse矩阵Hf?P?都是正半定的。
证明：?P0?x0,y0??D，由泰勒定理知，对D上任意点Q?x0?h,y0?k?，存在
???0,1?使得
??????h?k?f?y???x1??????h?k?2??x?y?2f?Q??f?P0??P0?f ?x0??h,y0??k? （11）
???设Hf?P?对任意点P?x,y??D都是正半定的，则有
????h?k???y???x2f?x0??h,y0??k??0。
由（11）式得
f?x0?h,y0?k??f?x0,y0???????h?k?f?y???x?x0,y0?
?fx?x0,y0?h?fy?x0,y0?k。
故由点P0,Q的任意性和定理3.1知f为D上的凸函数。
???假设存在一点P0?x0,y0??D，使得Hf?P0?为负定的，则?M0?h0,k0?且
h0?k022?0，有
????h?k0?0??x?y??2f?x0,y0??0。
由f的二阶偏导数的连续性知，???0，使得?P?x,y????P0;??，恒有
????h?k0?0??x?y??2f?x,y?? （12） 0。
令?h,k??c?h0,k0?,设0?c??h0?k022且?x,y???x0?h,y0?k?，显然有
?x,y?,?x0??h,y0??k??D,???0,1?且2h?k22??，由（12）式得
????h?k0?0??x?y??f?x0??h,y0??k??0。
同时也有
????h?k???y???x2f?x0??h,y0??k????2??c?h0?k0??x?y??2f?x0??h,y0??k??0。
由（11）式得
f?x,y??f?x0,y0???????h?k?f?y???x?x0,y0??fx?x0,y0?h?fy?x0,y0?k。
故由定理3.1知f为??P0;???D上的严格凹函数，这显然与题设矛盾，所以对任意点P?x,y??D，Hesse矩阵Hf?P?都是正半定的。
注<2>:对于定理3.2与定理3.5，R上的凸函数无此结论。 4
2结 语
3 本文主要给出了判定R上凸函数的五个充要条件，其实在此基础上还可给出严格凸函数与一致凸函数的定义及性质，并可将这些结果推广到n维线形空间，由于篇幅所限，故在
此不做深入讨论。另加说明，在经济学分析中经常会用到凸分析中的非光滑分析知识，而凸函数却在其中占有非常重要的地位，因此对凸函数的研究无论是在理论上还是在实际应用上都具有十分重要的意义。 参考文献：
[1]游兆永，龚怀云，徐宗本.非线形分析.西安：西安交通大学出版社，1986 [2]Wendell H.Heming(美).多元函数（上）.北京：人民教育出版社，1981 [3]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.北京：高等教育出版社，1980
The Conclusion of Convex Functions in R3
LIU Feng
(Department of mathematics,mathematics and applied mathematics in
2005 of Suzhou College,Suzhou Anhui 234000)
Abstract:The article begins with convex set,it makes efforts to discuss the geometric characteristics of conxex(concaxe) surface in the three dimensional space,and gives several necessary and sufficient conditions of concluding the three dimensional convex function.
Key words:convex set;convex field; convex function;epigraph