学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
2004年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学一试题详解及评析
一、
填空题
（1）曲线y?lnx与直线x?y?1垂直的切线方程为 . 【答】 y?x?1. 【详解】 由y??lnx??''1x?1,得x?1,可见切点为?1,0?，于是所求得切线方程为，
y?0?1??x?1?,即y?x?1
（2）已知f?(ex)?xe?x，且f?1??0，则f?x?? . 【答】
12(lnx).
2【详解】
令ex?t，则x?lnt，于是有
f?(t)?lntt， 即 f?(x)?lnxx.
2积分得 f(x)??lnxxdx?1212(lnx)?C. 利用初始条件f?1??0， 得C?0,
2故所求函数为 f?x??(lnx).
22（3）设L为正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，则曲线积分?xdy?2ydx的值为
L【答】
32?.
22【详解】正向圆周x?y?2在第一象限中的部分，可表示为
?x??y?2cos?,2sin?,? ??:0??2.
于是
?Lxdy?2ydx??20[2cos???2cos??22sin??2sin?]d?
3?2 ????22sin?d?? .02
1
学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
（4）欧拉方程
x2dydx22?4xdydx?2y?0(x?0)的通解为 . 【答】 y?c1x?c2x2.
dydxdydt2【详解】 令x?et，则
dydx22??dtdx?e?tdydt?21dyxdt
??1dyx2dt?1dyxdt2?dtdx?1x2[dydt2?dydt]
代入原方程，整理得
dydt22?3dydt?2y?0
解此方程，得通解为 y?c1e?2?（5）设矩阵A?1???0120?t?c2e?2t?c1x?c2x2.
0??0，矩阵B满足ABA*?2BA*?E，其中A*为A的伴随矩阵，?1??E是单位矩阵，则B? .
【答】
19.
【详解】已知等式两边同时右乘A，得
ABAA?2BAA?A
**而A?3，于是有
3AB?6B?A，
即 (3A?6E)B?A， 再两边取行列式，有
3A?6EB?A?3，
19.
DX}＝ .
而 3A?6E?27，故所求行列式为B?（6）设随机变量X服从参数为?的指数分布，则P{X?【答】
1e.
2
学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
【详解】 由题设，知DX?1?2，于是
??1P{X?DX}=P{X?1?}???e??xdx =?e??x??1?1e.
??
二、选择题
（7）把x?0时的无穷小量????x0costdt,??2?x20tantdt,???x0sintdt，使排在后
3面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A) ?,?,?. (B) ?,?,?. (C) ?,?,?. (D) ?,?,?.
【 】
【答】 应选（B）. 【详解】
??x?0lim??lim?x?0?x20xtan2tdt?lim?x?0tanx?2xcosx2?0，可排除(C),(D)选项，
?0costdt3又 limx?0????lim?x?0??x0x2sintdt?lim?tdtx?03sinx2?12x0tan2xtanx=
14x?0lim?xx2??，
可见，?是比?低阶无穷小量，故应选(B).
（8）设函数f?x?连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得
(A) f?x?在（0，?)内单调增加. （B）f?x?在(??,0)内单调减少. (C) 对任意的x?(0,?)有f?x??f?0?. (D) 对任意的x?(??,0)有f?x??f?0?.
【 】
【答】 应选（C）.
【详解】 由导数的定义，知
f?(0)?limf(x)?f(0)x?0
x?0根据保号性，知存在??0，当x?(??,0)?(0,?)时，有
f(x)?f(0)x
?0
3
学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
即当x?(??,0)时，f?x??f?0?.; 而当x?(0,?)时，有f?x??f?0?.. 故应选(C).
?（9）设?an为正项级数，下列结论中正确的是
n?1?(A) 若limnan=0，则级数?an收敛.
n??n?1?(B) 若存在非零常数?，使得limnan??，则级数?an发散.
n??n?1?（C）若级数?an收敛，则limnan?0.
n?12n???（D）若级数?an发散, 则存在非零常数?，使得limnan??.
n?1n??【 】
【答】应选（B）. 【详解】 取an?1nlnn??，则limnan=0，但?an?n??n?1??n?11nlnn发散，排除(A)，(D)；
又取an?1nn，则级数?an收敛，但limnan??，排除(C), 故应选(B).
n?1tt2n??（10）设f(x)为连续函数，F(t)??1dy?f(x)dx，则F?(2)等于
y(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0.
【 】
【答】 应选（B）. 【详解】交换积分次序，得
F(t)??t1dy?f(x)dx=?[?f(x)dy]dx?yttx11?t1f(x)(x?1)dx
于是，F?(t)?f(t)(t?1)， 从而有 F?(2)?f(2)，故应选(B).
（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为
4
学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
(A)
?0?1???11000??0?1??. (B)
?0?1???01000??1?1??. (C)
?0?1???01010??0?1??. (D)
?0?1???01001??0?1??
【 】
【答】 应选（D）. 【详解】 由题设，有
?0?A1???01000??1 ??0?B,B0???1???00100??1?C?1??
于是，
?0?A1???01000??1??00??1????00100??0??1?A1???1???01001? ?0?C.?1??可见，应选(D).
（12）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵，则必有： （A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.
【 】
【答】 应选（A）.
【详解1】设A为m?n矩阵，B为n?s矩阵，则由AB?0知，
r(A)?r(B)?n
又A,B为非零矩阵，必有r?A??0,r?B??0.可见r?A??n,r?B??n,即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选(A).
【详解2】由AB?0知，B的每一列均为Ax?0的解，而B为非零矩阵，即Ax?0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。
TT同理，由AB?0知，BA?O，于是有BT的列向量组，从而B的行向量组线性相
关，故应选(A).
（13）设随机变量X服从正态分布N?0,1?，对给定的?(0???1)，数u?满足
P{X?u?}??，若P{X?x}??，则x等于
5