学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
可知AC?B2?1?0，又A??1?0，从而点(-9, -3)是z?x,y?的极大值点，极大值为
366z??9,?3???3.
（20）设有齐次线性方程组
?(1?a)x1?x2???xn?0,??2x1?(2?a)x?2???2xn?0,???(n?2)
??????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 【详解1】对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有
?1?a11?1??1?a11?1??A??22?a2?2????2aa0?0???????????????????B. ??nnn?n?a?????na00?a??当a?0时，r?A??1?n,故方程组有非零解， 其同解方程组为 x1?x2???xn?0, 由此得基础解系为：
?TT?,?T1?(?1,1,0,?,0), ?2?(?1,0,1,?,0),n?1?(?1,0,0,?,1),
于是方程组的通解为x?k1?1???kn?1?n?1, 其中k1,?,kn?1为任意常数. 当a?0时，对矩阵B作初等行变换，有
?1?a11?1??n(n?1)??a?00?0?? B???210?0?2???210?0???????????.????????n00?1???????n00?1??可知a??n(n?1)2时，r(A)?n?1?n，故方程组也有非零解，
??2x1?x2?0,其同解方程组为 ???3x1?x3?0,?
???????nx1?xn?0,由此得基础解系为 ??(1,2,?,n)T，
于是方程组的通解为 x?k?，其中k为任意常数.
11
学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
【详解2】 方程组的系数行列式为
1?aA?2?n12?a?n12?n????12?n?a?(a?n(n?1)2)an?1
当A?0，即a=0或a??n(n?1)2时，方程组有非零解.
当??0时，对系数矩阵A作初等行变换，有
?1?2A??????n12?n12?n????1??1??20?????????n??010?010?0???01??0 ????0?故方程组的同解方程组为 x1?x2???xn?0,
由此得基础解系为 ?1?(?1,1,0,?,0)T, ?2?(?1,0,1,?,0)T,?,?n?1?(?1,0,0,?,1)T, 于是方程组的通解为：
x?k1?1???kn?1?n?1, 其中k1,?,kn?1为任意常数.
当a??n(n?1)2?1?a?2A??????n时，对系数矩阵A作初等行变换，有
12?a?n12??1??1?a11?1????2?2aa0?0 ????????????????n?a???na00?a???n?00?0??1?a11?1??0?????210?0?210?0 ??????????????????????????n00?1???n00?1?故方程组的同解方程组为
??2x1?x2?0,???3x1?x3?0,???????nx1?xn?0,?
由此得基础解系为 ??(1,2,?,n)，
于是方程组的通解为 x?k?，其中k为任意常数.
（21）设矩阵A??1??1???124?3??的特征方程有一个二重根，求??3?5??T的值，并讨论A是否可相似
? 12
学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
对角化.
【详解】 A 的特征多项式为
??1?E?A?1?1?233???21?1?(??2)03??4????4??
??503??51?(??2)1?1?1??4???(??2)(??8??18?3a).2
??5当??2是特征方程的二重根，则有22?16?18?3a?0, 解得???2. 当???2时，A的特征值为2,2,6, 矩阵2E?A=??1????11?2?223??3??3??的秩为1，
故??2对应的线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化。
若??2不是特征方程的二重根，则?2?8??18?3?为完全平方，从而18?3??16,解得 ???23. 23???3???1??3当???时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E?A=?3?2023秩为2，故??4对
?1???1?应的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.
(22) 设A,B为随机事件，且P?A??令
14,P?B|A??13,P?A|B??12,，
?1,A发生,?1,B发生,X??Y???0,A不发生;?0,B不发生.
求： （I）二维随机变量(X,Y)的概率分布；
（II）X和Y的相关系数?XY.
【详解】（ I） 由于P(AB)所以，
?P(A)P(BA)?112，
112P(B)?P(AB)P(AB)?16,
P{X?1,Y?1}?P(AB)?，
16P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)?112
P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?,
P{X?0,Y?0}?P(AB)?1?P(A?B) 13
学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
?1?P(A)?P(B)?P(AB)?23
（或P{X?0,Y?0}?1?112?16?112?23），
故?X,Y?的概率分布为
X Y 0 23161 1121120 1
(II) X,Y的概率分布分别为
X P 0 341 14Y 0 561 16
P 则EX故
?14,EY?16，DX?316，DY=
124536, E(XY)=
112,
Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?，
从而 ?XY?
Cov(X,Y)DX?DY?1515.
（23）设总体X的分布函数为
1??1??,x?1,F(x,?)??xx?1,?0,?
其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，求： （I） ?的矩估计量； （II） ?的最大似然估计量. 【详解】 X的概率密度为
???,x?1, f(x,?)??x??1x?1.??0, 14
学习资料共享 QQ776597299 QQ群124503282
（I） 由于 EX???????xf(x;?)dx????1x??x??1dx???1，
令
? ??X，所以参数的矩估计量为：
??1?X，解得X?1????X
X?1.（II）似然函数为
n??nL(?)??f(x?)???(xx?x)??1,xi?1(i?1,2,?,n),i; i?1?12n?0,其他当xi?1(i?1,2,?,n)时，L(?)?0，取对数得
nlnL(?)?nln??(??1)?lnxi
i?1两边对?求导，得
dlnL(?)nd??n???lnxi
i?1令
dlnL(?)?nd??0，可得 ?n， ?lnxii?1故?的最大似然估计量为 ???nn. ?lnXii?1
15