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(A) u?. (B) u21??2. (C) u1?? . (D) u1?? .
2【 】
【答】 应选（C）.
【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X??u?}??，于是
1???1?P{X?x}?P{X?x}?P{X?x}?P{X??x}?2P{X?x}
即有 P{X?x}?1??2，可见根据定义有x?u1??，故应选(C).
2 ??x? ??x? ? ? (1??)/2
0 u? 0 u1?? x 2（14）设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为?则
(A) Cov(X1,Y)?(C) D(X1?Y)?2?0. 令Y?1niX?ni?1，
?2n. (B) Cov(X1,Y)??.
2n?2n?. (D) D(X1?Y)?2n?1n?
2【 】
【答】 应选（A）. 【详解】
Cov(X1,Y)?Cov(X1,?1nn?Xi?1i)?1n1nCov(X1,X1)?21nni?2?Cov(X1,Xi)
1nDX1??.
2（15）设e?a?b?e, 证明lnb?lna?224e2(b?a).
【证法1】 对函数lnx在?a,b?上应用拉格朗日中值定理，得
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lnb?lna?lntt222ln??(b?a),a???b.
设?(t)?，则??(t)?1?lntt2，
当t?e时， ??(t)?0, 所以?(t)单调减少，从而?(?)??(e2)，即
ln?lnee22?【证法2】 设?(x)?ln??(x)?2??2e2
2x??4e4e22x，则
lnxx， ???(x)?21?lnxx2,
所以当x?e时，???(x)?0, 故??(x)单调减少，从而当e?x?e2时， ??(x)???(e)?24e2?4e2?0
即当e?x?e2时，?(x)单调增加.
因此当e?x?e2时，?(b)??(a)，即 lnb?故 lnb?lna?
（16）某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为
k?6.0?10).624e2b?ln2a?4e2a，
224e2(b?a)
问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
注kg表示千克，km/h表示千米/小时. 【详解1】
由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v0?700km/h. 从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x?t?，速度为v?t?. 根据牛顿第二定律，得 m又
dvdt??kv
dvdt?dvdxdv??v dxdtdx7
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由以上两式得
dx??mkdv，积分得 x(t)??mkv?C. 由于v(0)?vC?m0,x(0)?0，故得kv0，
从而 x(t)?mk(v0?v(t)) .当v(t)?0时， x(t)?mv0k?9000?7006.0?106?1.05(km).
所以，飞机滑行的最长距离是1.05(km). 【详解2】 根据牛顿第二定律，得 mdvdt??kv,所以
dvkv??mdt.
两端积分得通解v?Ce?kmt，代入初始条件vt?0?v0解得C?v0，
故 v(t)?v?kmt0e.
飞机滑行的最长距离为 x????mv0?kmt??0v(t)dt??ke0?mv0k?1.05(km).
kk或由
dxmtkv0dt?v0e?，知x(t)??t?kmtm(0v0edt??e?mt?1)，
故最长距离为当t??时，x(t)?kv0m?1.05(km).
【详解3】 根据牛顿第二定律，得 2mdxdx2，
dt2??kdt,
dxdt2?kdxmdt?0其特征方程为?2?km??0，解之得?k1?0,?2??m，
故 x?C?kmt1?C2e.
由 x?0,v?dxt?0t?0dtt?0??kC2me?kmtt?0?v0
k得 C?Cm1?2?mv0k, 于是 x(t)?mv0k(1?e?t).
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当t???时，x(t)?mv0k?1.05(km).
所以，飞机滑行的最长距离是1.05(km).
（17）计算曲面积分
I????2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy,
332其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧.
【详解】取?1为xoy平面上被圆x2?y2?1所围部分的下侧，记?为由?与?1围成的空间闭区域，则
I???2x???13dydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy ?32??2x?13dydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy.
32由高斯公式知
??2xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2?11?r2332???6(x?y?z)dxdyd z?22???1=6?而
0d??dr?00(z?r)rdz=12?2212232[?02r(1?r)?r(1?r)]dr?2?.
1???12xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy??233???3dxdy2?3?，
x?y?1故 I?2??3????.
（18）设有方程x?nx?1?0，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根xn，并证明
?n?当??1时，级数?xn收敛.
n?1【证明】记
fn(x)?x?nx?1 由fn(0)??1?0，fn(1)?n?0，及连续函数的介
nn值定理知，方程x?nx?1?0存在正实数根xn?(0,1).
n?1?n?0，可见fn(x)在[0,??)上单调增加, 故方程当x?0时，fn?(x)?nxx?nx?1?0存在惟一正实数根xn.
n由x?nx?1?0与xn?0知 0?xn?
n1?xnnn?1n，
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??故当??1时，0?xn?().
1n?而正项级数?n?11n???收敛，所以当??1时，级数?xn收敛.
n?1
（19）设z=z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求z?z(x,y)的极值点和极值.
【详解】因为 x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0， 所以 2x?6y?2y?z?x?2z?z?x?0，
?6x?20y?2z?2y?z?y?2z?z?y?0
令
??z??x?0, ???z?0???y?x?3y?0,??x?3y, 得 ?，故?
?3x?10y?z?0,z?y.??将上式代入x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0，可得
?x?9,? ?y?3,?z?3? 或
?x??9,? ?y??3,?z??3.?由2?2y?z?x22?2(?z?x)?2z2?z?x22 ?6?2?0，
2?z?x?2y?z?x?y2?2?z?y?x??z?2z?z?x?y2?0,
20?2?z?y?2?z?y?2y?z?y22?2(?z?y)?2z2?z?y2?0
所以 A??z?x222(9,3,3)?16，B?16?z?x?y(9,3,3)2??12，C??z?y2(9,3,3)2?53，
故 AC?B?136?0,又A??0,从而点?9,3?是z?x,y?的极小值，极小值为
z??9,?3???3 .类似地，由
A??z?x2(?9,?3,?3)2??16，B??z?x?y(?9,?3,?3)2?12，C??z?y2(?9,?3,?3)2??53，
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