求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）BC // 平面AEF．
证明：（1）在三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1 // CC1．
因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1． …… 2分 又AE⊥BB1，AE?AF?A，AE，AF?平面AEF，
所以BB1⊥平面AEF． …… 5分 又因为BB1?平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C． …… 7分 （2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE?∠ACF，AB ??AC， 所以Rt△AEB ≌Rt△AFC．
所以BE ? CF． …… 9分 又由（1）知，BE ???CF．
所以四边形BEFC是平行四边形．
从而BC ?? EF． …… 11分 又BC?平面AEF，EF?平面AEF，（三个条件缺一不可）
所以BC // 平面AEF． …… 14分 注意：1.缺少“在三棱柱ABC?A1B1C1中”或者写成“由题意知”都不行，没有就扣掉7分，采取“突
然死亡法”，严格标准；
2.“5分点”中五个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段以及本小题后续分值，共计5分。
3.“14分点”中三个条件缺一不可，缺少任何一个条件扣掉该逻辑段得分，共计3分。
17．（本小题满分14分）
2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆2?2?1(a?b?0)的短轴端点，P是
ab椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y?x?3时，线段PB1的长为42． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设点Q满足：QB1?PB1，QB2?PB2．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．
11
y B1 Q
解：设P?x0，y0?，Q?x1，y1?．
（1）在y?x?3中，令x?0，得y?3，从而b ? 3． ?2 由?x2y2??a2?9?1，得x2?x?3?2??1． ?y?x?3a9 所以x0??6a29?a2． …… 4分 因为PB1?x20??y0?3?2?2x6a20，所以42?2?9?a2，解得a2?18． 所以椭圆的标准方程为x218?y29?1． （2）方法一： 直线PBy1的斜率为k0?3PB1?x， 0 由QBx01?PB1，所以直线QB1的斜率为kQB1??y． 0?3 于是直线QBx1的方程为：y??0y?3x?3． 0同理，QBx2的方程为：y??0yx?3． …… 8分 0?3联立两直线方程，消去y，得xy20?91?x． …… 10分
0因为P?x0，y2x2y2200x0?在椭圆x18?y2209?1上，所以18?9?1，从而y0?9??2．
所以xx01??2． …… 12分 所以
S?PB1B2S?x0?2． …… 14分 ?QB1B2x1 方法二：
12
…… 2分分
…… 6 设直线PB1，PB2的斜率为k，k?，则直线PB1的方程为y?kx?3． 由QB1?PB1，直线QB1的方程为y??1x?3．
k2y2x 将y?kx?3代入??1，得2k2?1x2?12kx?0， 189??k．…… 8分 因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以x0?0，从而x0??1222k?122x02y02x0y22x 因为P?x0，y0?在椭圆??1上，所以??1，从而y0?9??．
18921892y0?3y0?3y0?9 所以k?k??????1，得k???1． …… 10分 22kx0x02x0 由QB2?PB2，所以直线QB2的方程为y?2kx?3．
?y??1x?3，?k，即x?6k． …… 12分 k 联立?则x?6122k?12k2?1?y?2kx?3?k?122S?PB1B2x2k?1?2． …… 14分 所以?0?S?QB1B2x16k2k2?1
18．（本小题满分16分）
将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为
圆柱的两个底面；
方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方
形（各边分别与l1或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．
（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；
（2）设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？
解：（1）设所得圆柱的半径为rdm，
13
（第18题）
l1 A B l 2 C 则?2πr?2r??4r?100， …… 4分 解得r?52?π?1?2?π?1?． …… 6分
（2）设所得正四棱柱的底面边长为adm，
?a≤x，?a≤x，??22 …… 9分 则?即??a≤100?4a，?a≤20.xx?? 方法一：
?? 所得正四棱柱的体积V?a2x≤????? 记函数p(x)????x3，0?x≤210，4……11分 400，x?210.xx3，0?x≤210，4 400，x?210.x? 则p(x)在0，210??上单调递增，在?210，??上单调递减，
?? 所以当x?210时，pmax(x)?2010．
所以当x?210，a?10时，Vmax?2010 dm3． …… 14分 方法二：
2a≤x≤20，从而a≤10． ……11分
a 所得正四棱柱的体积V?a2x≤a220?20a≤2010．
a 所以当a?10，x?210时，Vmax?2010 dm3． …… 14分
答：（1）圆柱的底面半径为??52?π?1?2?π?1? dm；
（2）当x为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． …… 16分 注意：
1.直接“由x?2x?x?100得，x?210时正四棱柱的体积最大”，只给结果得分，即2分；
22.方法一中的求解过程要体现V≤p(x)≤210，凡写成V?p(x)≤210的最多得5分， 方法二类似解答参照给分．
19．（本小题满分16分）
设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q?1，d?0． 记ci?ai?bi（i???，12，3，4）．
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??（1）求证：数列c1，c2，c3不是等差数列；
c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域； （2）设a1?1，q?2．若数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由． （3）数列c1，解：（1）假设数列c1，c2，c3是等差数列，
则2c2?c1?c3，即2?a2?b2???a1?b1???a3?b3?．
因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2?b1?b3．从而2a2?a1?a3．……2分 又因为a1，a2，a3是等比数列，所以a22?a1a3． 所以a1?a2?a3，这与q?1矛盾，从而假设不成立．
c2，c3不是等差数列．……4分 所以数列c1， （2）因为a1?1，q?2，所以an?2n?1．
因为c22?c1c3，所以?2?b2???1?b2?d??4?b2?d?，即b2?d2?3d，…6分 由c2?2?b2?0，得d2?3d?2?0，所以d??1且d??2． 又d?0，所以b2?d2?3d，定义域为?d?Rd??1，d??2，d?0?．……8分 （3）方法一：
设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1， ?a1?b1?c1， ??a1q?b1?d=c1q1， 则?22?a1q?b1?2d=c1q1，?aq3?b?3d=cq3.?1111①②③④222……10分
将①+③－2×②得，a1?q?1??c1?q1?1?，22⑤
将②+④－2×③得，a1q?q?1??c1q1?q1?1?，⑥……12分 因为a1?0，q?1，由⑤得c1?0，q1?1．
由⑤⑥得q?q1，从而a1?c1． ……14分 代入①得b1?0．
再代入②，得d?0，与d?0矛盾．
所以c1，c2，c3，c4不成等比数列． ……16分
方法二：
c2，c3，c4是等比数列，则假设数列c1，c2c3c4??． ……10分 c1c2c3 所以
a?a2?da4?a3?dc3?c2c4?c3，即3． ??a2?a1?da3?a2?dc2?c1c3?c2 两边同时减1得，
a3?2a2?a1a4?2a3?a2． ……12分 ?a2?a1?da3?a2?d15