高中数学竞赛讲座7
7指、对数函数,幂函数
指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。 一、 指数概念与对数概念：
指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。
欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1．指数运算性质主要有3条：
ax·ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·bx（a>0,a≠1,b>0,b≠1） 2．对数运算法则（性质）也有3条： （1）loga(MN)=logaM+logaN （2）logaM/N=logaM-logaN （3）logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0)
3．指数运算与对数运算的关系： X=alogax；mlogan=nlogam
4．负数和零没有对数；1的对数是零，即loga1=0；底的对数是1，即logaa=1
5．对数换底公式及其推论： 换底公式：logaN=logbN/logba 推论1：logamNn=(n/m)logaN
推论2：
三、指数函数与对数函数
函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是： （1）定义域为全体实数（-∞，+∞）
（2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0 （3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。
（4）单调性是：当a>1时为增函数；当0
x- xx-x
（5）无奇偶性，是非奇非偶函数，但y=a与y=a 的图象关于y轴对称，y=a与y= a的图象关于x轴对称；y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称。 （6）有两个特殊点：零点（0，1），不变点（1，a） （7）抽象性质：f(x)=a(a>0,a≠1), f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y)
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是： （1）定义域为正实数（0，+∞） （2）值域为全体实数（-∞，+∞）
（3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。
（4）单调性是：当a>1时是增函数，当0
（5）无奇偶性。但y=logax与y=log(1/a)x关于x轴对称，y=logax与y=loga(-x)图象关于y轴对称，y=logax与y=ax图象关于直线y=x对称。 （6）有特殊点（1，0）,(a，1)
（7）抽象运算性质f(x)=logax(a>0,a≠1)， f(x·y)=f(x)+f(y), f(x/y)=f(x)-f(y)
x
x
例题讲解
1．若f(x)=(ax/(ax+√a))，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)
2．5log25等于：（ ）
（A）1/2 （B）(1/5)10log25 （C）10log45 （D）10log52
3．计算
4．试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。
5．已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）
（A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定
6．已知函数y=((10x-10-x)/2)(X∈R) （1）求反函数y=f(x)
（2）判断函数y=f(x)是奇函数还是偶函数
7．已知函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))(a＞0,a≠1) （1）求f(x)的定义域
（2）判断f(x)的奇偶性并给以证明；
（3）当a＞1时，求使f(x)＞0的x取值范围； （4）求它的反函数f-1(x)
-1-1
8．22003的十进制表示是个P位数，52003的十进位表示是个q位数，则p+q= 。
9．已知x2-2x+loga(a2-a)=0有一正根和一负根，求实数a的范围。
10．设y=log(1/2)[a2x+2(ab)x-b2x+1](a＞0,b＞0)，求使y为负值的x的取值范围
课后练习
1．设a,b,c都是正数，且3=4=6，那么（ ）
（A）(1/c)=(1/a)+(1/b), (B)(2/c)=(2/a)+(1/b), (C)(1/c)=(2/a)+(2/b), (D)(2/c)=(1/a)+(2/b) 2.F(x)=(1+((2/(2x-1)))·f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( ) （A）是奇函数 （B）是偶函数
（C）可能是奇函数也可能是偶函数 （D）不是奇函数也不是偶函数 3．若f(x)=3x+5，则f-1(x)的定义域是（ ） （A）(0,+∞) (B) (5,+∞) (C) (8,+∞) (D) (-∞,+∞) 4．求值：6lg40×5lg36
5．已知m,n为正整数，a＞0,a≠1,且
logam+loga(1+(1/m))+loga(1+(1/(m+1))+…+loga(1+(1/(m+n-1)))=lgam+logan。求m,n 6．X=((1/(log(1/2)(1/3))+(1/(log(1/5)(1/3))的值属于区间（ ）
（A）（-2，-1） （B）（1，2） （C）（-3，-2） （D）（2，3） 7．计算：（1）lg20+log10025 (2)lg5·lg20+(lg2)2
a
b
c
8．若集合{x，xy，lg(xy)}={0，∣x∣,y}，则log8(x+y)= 。 9．若x∈(1,10)，则lgx,lgx,lglgx的大小顺序是： （A）lg2x＜lgx2＜lglgx (B)lg2x＜lglgx＜lgx2 （C）lgx2＜lg2x＜lglgx (D)lglgx＜lg2x＜lgx2
2
2
22
10．计算：
11．集合{x∣-1≤log(1/x)10＜-(1/2),x∈N}的真子集的个数是 。
12．求函数y=(1/4)
13．已知指数函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)，求满足f(3x2-4x-5)>f(2x2-3x+1)的x的取值。
14．解方程8log6(x2-7x+15)=5log68
15．设有关于x的不等式lg (∣x+3∣+∣x-7∣)＞a
x2-2x-3
的单调区间。