（1）当a=1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R？
课后练习答案
1.（B）；2.（A）；3.（B）；4.216；5.m=2，n=2； 6.（D）；7.（1）2，（2）1；8.1/3；9.（D）；
10.1/2；11.2-1；12.单调增区间（-∞，1]，单调减区间[1，+∞） 13.当a＞1时，x＜-2或x＞3，当0＜a＜1时，-2＜x＜3； 14.x1=2,x2=5；
15.(1)x＜-3或x＞7，（2）a＜1
90
例题答案：
1． 分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1， 而
f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√a)/(ax+√a))=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加：
原式
=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000个=500
说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。
（1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4/(4+2))，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。
xx
（2）上题中取a=9，则f(x)=(9/(9+3))，和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n).
（3）设f(x)=(1/(2x+√2))，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得
f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。这就是2003年春季上海高考数学第12题。 2．解：∵5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)×10log25 ∴选（B）
说明：这里用到了对数恒等式：alogaN=N(a＞0,a≠1,N＞0) 这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。
3．解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。
x
x
解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有
说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。
4．解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记12
2003
=a＞0，则有
((122002+1)/(122003+1))÷((122003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)·((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a+1)2)=((12a2+145a+12)/(12a2+24a+12))＞1 故得：((12
5． 解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而f(t)+f(-t)=
2002
+1)/(12
2003
+1))＞((12
2003
+1)/(12
2004
+1))
∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3
说明：由对数换底公式可推出logab·logba=(lgb/lga)·(lga/lgb)=1，即logab=(1/logba)，因而lglog310与lglg3是一对相反数。设察函数式结构特征及对数的恒等变形。
6．分析：（1）求y=(10x-10-x)/2的反函数首先用y把x表示出来，然后再对调x,y即得到y=f-1(x)； （2）判断函数y=f-1(x)的奇偶性要依据奇函数或偶函数的定义，看当X∈R时是否有 f(-x)=-f(x)或(f(-x)+f(x)=0) 或f(-x)=f(x) 恒成立。
解：（1）由y=((10x-10-x)/2)(X∈R)可得2y=10x-10-x，设10x=t，上式化为：2y=t-t-1两边乘t，得2yt=t2-1整理得：t2-2yt-1=0，解得：
中的部分
，则
g(x)为奇函数，g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观
由于t=10x＞0，故将
舍去，得到：
将t=10x代入上式，即得:
所以函数y=((10x-10-x)/2)的反函数是
(2)由得:
∴f-1(-x)=-f(x)
所以，函数 是奇函数。
说明：①从本题求解及判断过程可以得到更一般的结论：函数y=((ax-a-x)/2)(X∈R,a＞0,a≠1)的反函数是
，它们都是奇函数。当a=2,3,10或e时就构造了新的特殊的题目。进一
步还可以研究它们的单调性，如1992年高考数学试题：函数y=((ex-e-x)/2)的反函数 （A）是奇函数，它在(0,+∞)上是减函数； （B）是偶函数，它在(0,+∞)上是减函数； （C）是奇函数，它在(0,+∞)上是增函数； （D）是偶函数，它在(0,+∞)上是增函数。
②函数y=((ax-a-x)/2)是由y=f(x)=ax构造而得，全日制普通高级中学教科书（试验修订本。必修）《数学》第一册（上）（人民教育出版社中学数学室编著）P107复习参考题二B组第6题：设y=f(x)是定义在R上的任一函数，
求证：（1）F1(x)=f(x)+f(-x)是偶函数； （2）F2(x)=f(x)-f(-x)是奇函数。
而f(x)=F1(X)+F2(x)，它说明，定义在R上的任一函数都可以表示成一个奇函数(F2(x))与一个偶函数(F1(x))的代数和。从这个命题出发，由f(x)=ax就可以构造出诸多奇函数，比如，y=((ax-a-x)/2)；
y=((a-a/(a+a))=((a-1)/(a+1))等等用自然对数的底e≈2.71828…（无理数）作底，作函数sh(x)=((e-e)/2),ch(x)=((e+e/2),th(x)=((e-e/(e+e它们分别叫做双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，它们具有如下性质： (1)ch2(x)-sh2(x)=1;
(2)sh(x+y)=sh(x)·ch(y)+ch(x)·sh(y); (3)ch(x+y)=ch(x)·ch(y)+sh(x)·sh(y); (4)th(x+y)=((th(x)+th(y))/(1+th(x)·th(y))); (5)ch(-x)=ch(x); (6)sh(-x)=-sh(x); (7)th(-x)=-th(x). 令x=y，则有
(8)sh(2x)=2sh(x)·ch(x); (9)ch(2x)=ch2(x)+sh2(x) 其中①⑧⑨合起来，就是课本P107的第8题。 7． 解：（1）由对数的定义域知((1+x)/(1-x))＞0 解这个分式不定式，得：(x+1)(x-1)＜0,-1＜x＜1 故函数f(x)的定义域为（-1，1）
（2）f(-x)=loga((1-x)/(1+x))=log((1+x)/(1-x))=-loga((1+x)/(1-x))=-f(x) 由奇函数的定义知，函数f(x)是奇函数。
（3）由loga((1+x)/(1-x))＞0＜＝＞loga((1+x)/(1-x))＞loga1，
因为a＞1，所以由对数函数的单调性知((1+x)/(1-x))＞1，考虑由（1）知x＜1,1-x＞0，去分母，得：1+x＞1-x,x＞0故：0＜x＜1
所以对于a＞1，当x∈(0,1)时函数f(x)＞0
（4）由y=loga((1+x)/(1-x))得：((1+x)/(1-x))=ay应用会比分比定理得：((1+x)+(1-x))/((1+x)-(1-x))=((ay+1)/(ay-1))即:(2/2x)=((ay+1)/(ay-1))
∴x=((a-1)/(a+1))交换x,y得：
y=((ax-1)/(ax+1))，它就是函数f(x)=loga((1+x)/(1-x))的反函数f-1(x)即f-1(x)=((ax-1)/(ax+1)) 说明：（1）函数y=loga((1+x)/(1-x))与y=((ax-1)/(ax+1))是一对反函数。取a=e，函数y=((ex-1)/(ex+1))的反函数的定义域是 。这就是89年的高考题目。
（2）已知f(x)=lg((1-x)/(1+x)),a,b∈(-1,1)求证：f(a)+f(b)=f((a+b)/(1+ab))（P89习题2.8第4题）可以看作该类函数的性质。
y
y
-1
x
-x
x
-x)
x
-x)
x
-x))
x-x)x-x2x2x
（3）y=ax与y=logax；y=((ax-a-x)/2)与这三对互反函数及其性质需要理解记忆。
8．解：∵2
2003
；y=((ax-1)/(ax+1))与y=loga((1+x)/(1-x))
是个P位数,
2003
p
∴10＜2＜10 ①
2003
∵5是个q位数， ∴10＜5＜10 ② ①×②得:10p+q-2＜(2×5)2003＜10p+q 即10
p+q-2q-1
2003
q
p-1
＜10
2003
＜10
p+q
③
∴2003=p+q-1 ∴p+q=2004
9．解：方程有一正根一负根的充分必要条件是： loga(a-a)＜0（由韦达定理而来）①
由a＞0,a≠1,a-a=a(a-1)＞0,可得a＞1 ②，从而由loga(a-a)＜0=loga1得:a-a＜1,a-a-1＜0，解
2
2
2
2
2
得: ③，由②③得：
10．解：∵(1/2)＜1,要使y＜0,只要 a2x+2(ab)x-b2x+1＞1， 即a2x+2(ab)x-b2x＞0
→b2x[(a/b)2x+2(a/b)x-1]＞0 →[(a/b)x]2+2(a/b)x-1＞0 → →∵ →
.
1°当a＞b＞0时,a/b＞1, 2°当b＞a＞0时,0＜a/b＜1, 3°当a=b＞0时，x∈R。
；