∴大门的宽是：0.3×20≈6（米）； 校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1． 根据题意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米． ∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°， ∴在Rt△A1B1O1中， B1O1=sin∠B1A1O1?A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米）， ∴B1D1=2B1O1=0.05232米， ∴伸缩门的宽是：0.05232×20=1.0464米； ∴校门打开的宽度为：6﹣1.0464=4.9536≈5（米）． 故校门打开了5米． 点评： 本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，难度适中．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要把实际问题抽象到解直角三角形中，一切将迎刃而解． 15、（2013?绍兴）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm DF AE AF AB AC 伞架 DE 36 36 36 86 86 长度 36 （1）求AM的长． （2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．
备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．
考点： 解直角三角形的应用． 分析： （1）根据AM=AE+DE求解即可； （2）先根据角平分线的定义得出∠EAD=∠BAC=52°，再过点E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性质得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函数的定义求出AG的长，进而得到AD的长度． 解答： 解：（1）由题意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）． 故AM的长为72cm； （2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°， ∴∠EAD=∠BAC=52°． 过点E作EG⊥AD于G， ∵AE=DE=36， ∴AG=DG，AD=2AG． 在△AEG中，∵∠AGE=90°， ∴AG=AE?cos∠EAG=36?cos52°=36×0.6157=22.1652， ∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）． 故AD的长约为44cm． 点评： 本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角函数的定义，难度适中．
16、(2013年南京)已知不等臂跷跷板AB长4m。如图?，当AB的一端碰到地面时，AB与地面的夹
角为?；如图?，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为?。求跷跷板AB的
支撑点O到地面的高度OH。(用含?、?的式子表示)
A A O ? B O ? H ? B ? H 解析：解：在Rt△AHO中，sin?= ∴OB=
OH OH OH
，∴OA= 。 在Rt△BHO中，sin?= ， OA OB sin?
OH
。 sin?
OH OH 4sin?sin? ∵AB=4，∴OA?OB=4，即?=4。∴OH= (m)。 (8分)
sin? sin? sin??sin?
(2013年江西省)如图1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可
抽象为一条折线OAB，如图2所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB=120°．若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图3所示． （1）求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离；（结果精确到0.01） （2）求雨刮杆AB扫过的最大面积．（结果保留π的整数倍） （参考数据：sin60°=计算器）
31，cos60°=，tan60°=3，721≈26.851，可使用科学22
【答案】解：（1）雨刮杆AB旋转的最大角度为180° ．
连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于EH， ∵∠OAB=120°， ∴∠OAE=60° 在Rt△OAE中，
∵∠OAE=60°，OA=10，
∴sin∠OAE=
OEOE=， OA10∴OE=53， ∴AE=5.
∴EB=AE+AB=53， 在Rt△OEB中， ∵OE=53，EB=53，
∴OB=OE?BE=2884=2721≈53.70；
（2）∵雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，
22∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△OCD， ∴雨刮杆AB扫过的最大面积S=
1π(OB2－OA2) 2 =1392π.
【考点解剖】 本题考查的是解直角三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难）．
【解题思路】 将实际问题转化为数学问题，（1）AB旋转的最大角度为180°；在△OAB中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解，由∠OAB=120°想到作AB边上的高，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜边OA=10，可求出OE、AE的长，进而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长；（2）雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积（以OB、OA为半径的半圆面积之差）.
【方法规律】 将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角都可求出其余的量.
【关键词】 刮雨器 三角函数 解直角三角形 中心对称 扇形的面积
17、（2013陕西）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度，如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m。已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m） D M N E B A 第21题图
C
考点：此题考查稳定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的应用测量高度，宽度等线段的长度的具体计算，将问题转换成方程（组）来求解，经常设置的具体的实际情景得到与测量相关的计算；
解析：本题考查的是典型的测量问题之中心投影下的测量，而此问题设置基本上就是应用相似的性质来将实际问题转化成数学问题来解决，
解：如图，设CD长为xm ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA ∴MA∥CD，BN∥CD，∴EC=CD=x，∴△ABN∽△ACD ∴即
BNAB ?CDAC1.751.25 解得x?6.125?6.1 ?xx?1.75所以路灯高CD约为6.1米
18、（2013年潍坊市）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D',旋转角为?.
（1）当点D恰好落在EF边上时，求旋转角?的值；
（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜?＜90°，求证：GD'?E'D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，?DCD'与?CBD'能否全等？若能，直接写出旋转角?的值；若不能，说明理由.
'
答案：(1) ∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α. ∴sinα=
CECE1??,∴αCD'CD2=30°
(2) ∵G为BC中点，∴GC=CE′=CE=1，
∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α, ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α, ∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D (3) 能. α=135°或α=315°
考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定
点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论.此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力．