本科毕业论文
设计题目： 拉格朗日中值定理的应用 学生姓名： 任雯蕾 学专
号： 201000820223
业： 信息与计算科学
指导教师： 范进军
学 院： 数学科学学院
1 2014 年 5 月 8 日
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毕业论文（设计）内容介绍
论文（设计） 题 目 选题时间 拉格朗日中值定理的应用 论文（设计） 字数 2013—11—25 完成时间 2014—5—8 8000 关 键 词 拉格朗日中值定理、应用、极限、收敛 论文（设计）题目的来源、理论和实际意义： 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学地理论基础，而拉格朗日中值定理是这几个中值定理中最重要的一个，具有中值性，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。 中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数取极值、单调性、拐点、凹凸性等多项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以把握函数图像的各种几何特征。总之，微分中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。 拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。 论文（设计）的主要内容及创新： 课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的特殊应用，因而本文对拉格朗日中值定理的理解进行了深入的分析，介绍了它的几种证法，并在此基础上就拉格朗日中值定理的应用进行了系统的总结。 附：论文（设计） 本人签名： 任雯蕾 2014 年 5 月 8 日 2
目 录
中文摘要................................................................1 英文摘要................................................................2 引言....................................................................3 一、拉格朗日中值定理及其证明.............................................3
1.定理内容................................................................3
2.定理意义...............................................................3 3.定理证明...............................................................4 二、拉格朗日中值定理的应用..............................................4 1.利用拉格朗日中值定理证明不等式.....................................5 2.利用拉格朗日中值定理证明等式..........................................6 3.利用拉格朗日中值定理求极限.............................................7 4.利用拉格朗日中值定理判别级数敛散性....................................8 6.利用拉格朗日中值定理估值..............................................9 7.利用拉格朗日中值定理延吉函数性态..................................10 8.利用拉格朗日中值定理判断根的存在性................................12 三、结束语.............................................................14 参考文献...............................................................14
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拉格朗日中值定理的应用
任雯蕾
（山东师范大学 ，数学科学学院， 信息与计算科学， 2010级2班） 摘要：以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定
理是整个微分学的重要理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是几个中值定理中最重要的一个，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。
关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；收敛
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Applications of Lagrange's mean value theorem
Ren Wenlei
(Class 2 Grade 2010 , Information and Computing Science, School of Mathematical Science, Shandong Normal University)
Abstract：A group of mean value theorem which includes Rolle's mean value
theorem , Lagrange's mean value theorem and Cauchy's mean value theorem is the theoretical basis of the differential calculus. And Lagrange's mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems' main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, inflection point， and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagrange's mean value theorem's way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its important applications. There is no special explanation about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary.
Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Convergence
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