故存在?bae?e?(a,b)，使得?e?， b?a??)即e 综合上述两式可得e?e︱f(?)?f'(?︱???︱f(?)?f'(?︱)=1。
用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项，证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用。 3.利用拉格朗日中值定理求极限
例5 求极限 limn9。 1010n??n?1?x???解：分母是两式相减的情形，可构造f(x)?x10，f/(x)?10x9， 易知函数在区间(n?1，n)上是符合定理条件的。
所以n10?(n?1)10?10?9，其中n?1???n，当n???时，????。 所以limn???n9n91。 ??10lim910?10n??n?1?x???10在有些求极限问题当中，用常规方法很难入手，但是运用拉格朗日中值定理却可以迎刃而解，尤其是一些比较复杂的分式的极限计算问题。
例
6
证
明
如
果
函数
f?x?在R上可导，极限
limf?x?与limf??x?都存在，则极限limf??x??0。
x???x???x???证明：运用拉格朗日中值定理
设limf?x??A,则limf?x?1??A。x??? x??? 于是有f?x?1??f?x??f??x。 ?x<
???x x??? 则有limf??x??limf?x???x???x???????lim?f?x?1??f?x?? xx???x??? ?limf?x?1??limf?x??0。 由此?limf??x??0。 x???4.利用拉格朗日中值定理判别级数的敛散性 11 例7证明调和级数1?111??????是否收敛 23n证明：可做辅助函数为f(x)?lnx，在区间(N，N?1)上符合拉格朗日中值定理的 要求。 则存在一点??(N，N?1)，使ln(N?1)?lnN? 所以有ln2?ln1?1，ln3?ln2? 所以ln(n?1)?1?1??1。 N111，……， ln4?ln3?，ln(n?1)?lnn?，23n111????, 23n 由于limln(n?1)???，所以Sn?1?n??11???是发散的。 2n在级数敛散性的判别问题上，可以构造辅助函数，研究在(N，N?1)各个区间上的特点，最后相加可以进行化简，利用级数敛散性的判别法则给出判断。 例8 若一正项级数?an?an?0? 发散，sn?a1?a2?a3?.....an，证明级数 n?1???asn?n?1n1??（?>0）收敛。 1证明：做辅助函数f?x??x?，则有f?x???x1??， 当n?2时在闭区间 fnn?1n?s,s?上用拉格朗日中值定理得到 n?1nn?1?s??f?s??f??(?ss?snn?1??n?sn),， 于是有a?a?sn?nn1?n1????1?11?。 ??????????sn?1sn???1?11????收敛，所以原题得证。 由?????s?n?2?n?1sn??5.利用拉格朗日中值定理估值 对于证明估值问题，尤其是二级或者二级以上的导函数估值， 一般情况下通常选用泰勒公式证明比较简便。 但是对于某些积分上的估值，可以采用拉格朗日中值定理中值定理来证明。 12 例9 设导函数f??x?在?a,c?上连续，且有f?a??f?b??0，记M=max 设设导函数f′(x)在[a,c]上连续且f(a) = f(b) = 0, 记M = maxf??x?。 a?x?cc4f?x?dx?M。 求证：2?a（c?a） 证明: 对任意的b ∈ [a,c], 由拉格朗日中值定理可知: ?caf?x?dx??f?x?dx=?f?x??f?a?dx??f?c??f?x?dx acccab =?babcc??? f??1?x?adx??f??2?c?xdx?M???x?a?dx???c?x?dx??bb?a??(b?a)2?c?b?2?? =M??。 2??2??b-a?2?c?b?2??c?a?2a?b? 令b?，则有?， ??2242??4 所以，原题得证，即2（c?a）例10设f'(x)在[a,b]上连续，且 ?f?x?dx?M。 acf(a)?f(b)?0，试证 4b?aa?b︱f'(x)︱dx?︱f(x︱)。 证明：若f(x)?0，不等式显然成立。 若f(x)不恒等于零，?c?(a,b)使 ︱f(x︱)=f(c)，在(a,c)及 f(c)f(c),f'(?2)?, c?ac?b[a,c]上分别用拉氏中值定理，有f'(?1)?从而得： )dx??︱f''(x)dx︱︱???︱f''(x︱??b2a?1?12f''(x)dx︱1?︱f'(?2?)f?'︱︱(?1)fc(?b)(a)︱。 (b?c)(a?c)(b?a)2 再利用(c?a)(b?c)?4 即得所证。 13 ， 6.利用拉格朗日中值定理研究函数性态 若f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，则在?a,b?上f?x??f?x0??f'????x?x0? （若?在x与x0之间），这可视为函数f?x?的一种变形，它建立了函数与导数的关系，我们可以用它来研究有关函数性态，如函数的一致连续、单调性等. （1）一致连续 例11 证明如果f?x?在?a,???上可导，且?x??a,???，有f'?x??M, 其中M?0为常数，则f?x?在?a,???上一致连续. 证明 ：?x1,x2??a,???，在以x1,x2为端点的区间上， 有 f'????f?x2??f?x1? ，且?介于x1,x2之间。 x2?x1 再利用已知条件，有 f?x2??f?x1??Mx2?x1 即 f?x?在 ?a,???上满足Lipschitz条件， 则f?x?在?a,???上一致连续。 （2）单调性 例12 试证：若函数f?x?在 ?0,a? a?0上可导，f'?x?单调递增，且f?0??0，则函数 f?x?在?0,a?上单调递增。 x证明：对任意的x1,x2??0,a?，且x1?x2 ，则f?x?在?o,x1?和?x1,x2?上均满足 拉格朗日中值定理，于是分别存在???0,x1?，???x1,x2? 使 f'????f?x1??f?0?'f?x2??f?x1?,f????。 x1?ox2?x1 由于 f'?x?单调递增，且 f?0??0，所以 f'????f'???， 即： f?x1?f?x2??f?x1?f?x1?f?x2??? ，通分移项整理得 ， x1x2?x1x1x2 即函数（3）有界性 f?x?在?0,a?上单调递增。 x14 例13设在(a,b)内f(x)可导且f'(x)有界，试证f(x)在(a,b)有界 证明：任取x0?(a,b)，有拉格朗日中值定理知： f(x)?f(x0)?g'(?)(x?x0)（ 可得： ?在x,x0之间）， )?︱f(x0︱︱x?x︱)?M(b?a)， )+｜f'(?)︱ ︱f(x︱0?︱f(x0︱ 式中M是f'(x)在(a,b)内的界，有︱f(x)︱?M， 即f(x)在(a,b)内有界。 7.利用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性 运用拉格朗日中值定理证明根的存在性的关键在于：构造辅助函数，运用拉格朗日中值定理或者它的特殊形式罗尔中值定理与连续函数的介值性等证明根的存在性。 例14设F(x)在[0,1]上可导，且0?f(x)?1,对于(0,1)内的所有点x，有 f(x)??1,证明方程f(x)?x?1?0在(0,1)内有唯一实根。 证明：存在性：令F(x)?f(x)?x?1,则F(x)在[0,1]上可导，又 （1）=F（1）+1-1>0，且0?f(x)?1， 因F(0)?f(0)?0?1?0,F 故由介值定理得F(x)在(0,1)内至少有一个零点， 即方程f(x)?x?1?0在（0,1）内至少有一实根。 唯一性：设方程f(x)?x?1?0在(0,1)内有两个实根，x1、x2，不妨设 0?x1?x2?1,则有f(x1)?1?x1,f(x2)?1?x2.因f(x)在[x1,x2]上满 足拉格朗日中值定理，所以至少存在一点??(x1,x2),使 ?)? f'(f(xx)2)?f(1?x2?x1(?12x?)?(11x)??。1 x2?x1 即在(0,1)内是少存在一点?，使得f'(?)??1,这与题设f'(?)??1矛盾。 所以 ， 假设不成立，即方程f(x)?x?1?0在(0,1)内有唯一实根。 15