拉格朗日中值定理的应用
引言：
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分学的重要的和基本的定理,所以统称微分中值定理，以拉格朗日中值定理作为中心，它们之间的密切关系可用示意图表示如下：
特例 推广 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 泰勒公式 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，特别是拉格朗日中值定理。因为它建立了导数值与函数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数从而研究出函数的性态。中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、凹凸性、拐点、取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以准确的把握函数图像的各种几何特征。
总之，微分中值定理是沟通函数值与导数值之间的重要桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，这是十分必要的。
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一、拉格朗日中值定理及其证明 1.定理内容：
若函数f?x?满足如下条件：?1?在闭区间?a,b?上连续；?2?在开区间?a,b?内可导；则在?a,b?内至少存在一点?，使f'????2.几何意义：
函数y?f?x?在区间?a,b?上的图形是连续光滑曲线弧 AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB。如图
?f?b??f?a?。
b?a
3.定理证明： （1）教材证法
从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若f?x?在闭区间?a,b?两端点的函数值相等，即f?a??f?b?，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理（如果函数f?x?满足条件：
?1?在闭区间?a,b?上连续；?2?在开区间?a,b?内可导；（3）f?a??f?b?,则在?a,b?内至
少存在一点? ,使得f'????0）。 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。所以，我们只须对函数f?x?作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.
f?b??f?a?x 证明：作辅助函数 F?x??f?x??b?a
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显然，函数F?x?满足在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，而且
F?a??F?b?．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点??a???b?，使
f?b??f?a?f?b??f?a??0.即f'????. b?ab?a（2）用作差法引入辅助函数法 F'????f'????f?b??f?a??证明：作辅助函数 ??x??f?x???f?a??， ?x?a???b?a??显然，函数??x?在闭区间?a,b?上连续，在开区间?a,b?内可导，??a????b??0。因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点???a,b?，使得?'????f'????即 f'????
二、拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求极限、证明级数收敛、研究函数在区间上的性质、估值等问题。 1.利用拉格朗日中值定理证明不等式
例1当x?0时，证明
f?b??f?a??0，
b?af?b??f?a? b?ax?ln?1?x??x。 1?x证明：做辅助函数f?t??ln?1?t?。
???上可导， 函数f?t?在定义域?-1，故对于?x>0,有f?t??ln?1?t?在闭区间
?0，x?上连续，在开区间?0，x?上可导。
则至少存在一点???0，x?，使得f?x??f?0?=f?????x?0?=
x。 1??x, 1?? 而f?0??0，?f?x?? 当x>0时，有
xxxx???x， ?x，即1?x1??1?x1?? 又当x?0时，有
x?f?x??x， 1?x 8
x?ln?1?x??x得证。 1?x 对于证明不等式， 关键怎样构造函数， 其后巧用拉格朗日中值定理， 画龙点睛恰到好处。 所以
例2已知0
?-???-??tan??tan?，证明。 ?22cos?2cos????证明：做辅助函数f?x??tanx,x??0,?。
?2?1??? 由于函数f?x??tanx在?0，?上连续可导，且f??x??， 2cosx?2? 于是当0
?时，f?x?在闭区间内可导， 2 即满足拉格朗日中值定理的条件。
所以?????，??，使得f????f????f?????????。 ?有tan??tan?????（1）。 2cos? 又?cos2x?1?cos2x???在?0，?上单调递减， 2?2? 所以当0
?时，有0 综上所得当0 拉格朗日定理的应用使本题简化了计算量，对于构造函数也比较简单，其优势表 现的淋漓尽致。 2.利用拉格朗日中值定理证明等式（包含恒等式和等式） 12x?arctgx?arccos?(x?1)恒等。 例 3证明 221?x412x??(x)?arctgx?arccos?(x?1)， 证明：令221?x4 9 则在(x?1)时arccos2x有意义，且 21?x11 ?'(x)??1?x2211?(1x2?)x2x2 22(?1x)2x21?()21?x11?x22(1?x2) =?0。 22221?xx?1(1?x) 在x?1时，?(x)?c（为常数）。 ?1???， 又取(1,??)内任一点，如3，有?(3)??3264 且?(1)??4?0??4，所以端点值也成立， 有推论arctgx?12x?arccos?(x?1)恒等。 221?x4 由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点x1,x2，（不妨设x1?x2）有 0，所以 ??)f(x2)?f(x1)?f'(?)(x2?x1)。那么若f'(x)恒为0，则有f'(f(x2)?f(x1)，由x1,x2的任意性可知，f(x)在定义域内函数值恒等。 例4 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)?f(b)?1，试求 ??,??(a,b)，使得e???︱f(?)?f'(?︱)=1. 证明：令F(x)?exf(x)， 则F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件， ebf(b)?eaf(a)??e︱f(?)?f'(?︱)。 故存在??(a,b)，使得 b?aeb?ea?e?︱f(?)?f'(?︱)。 由条件f(a)?f(b)?1，可得 b?a 再令?(x)?e， 则?(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件。 x 10