an?1?2n?1an?2n3an?3n?1?2n?2n?1an?2n????1， 解：（Ⅰ）?bn?1?bn?n?1nn?1n3333?{bn}为等差数列．又b1=0，?bn?n?1．
?an??n?1??3n?2n． …………………（4分）
（Ⅱ）设Tn?0?31?1?32???(n?1)?3n，则 3Tn?0?32?1?33???(n?1)?3n?1．
??2Tn?3???3?(n?1)?32nn?19(1?3n?1)??(n?1)?3n?1．
1?39?3n?1(n?1)?3n?1(2n?3)?3n?1?9?Tn???．
424?Sn?Tn?2?2???2?2n?2n?3?3n?1?2n?3?1??．…………………（8分）
4n?3n?1?2n?11362259C?,C?,C?,?猜测（Ⅲ）由已知得Cn?，从而求得12321362?n?1?3n?2nC1最大，下证：
an?1a2(n?3n?1?2n?1)?2?13[(n?1)?3n?2n]?Cn?C1???ana1an?a1(13?7n)?3n?9.2n??0，
an?a1∴存在k?1，使得Cn?Ck对一切正整数n均成立． …………………（12分）
【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】函数f(x)?x，在等差数列{an}中，a3?7，
3a1?a2?a3?12，记Sn?f(3an?1)，
令bn?anSn，数列{bn}的前n项和为Tn （1）求{an}的通项公式和Sn （2）求证Tn?1。 3【答案】设数列?an?的公差为d , 由 a3?a1?2d?7 a1?a2?a3?3a1?3d?12
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解得 a1?1 d=3 ?an?3n?2
?f(x)?x3 ?Sn?f(3an?1)=an?1=3n+1 (6分)
(2) ?bn?an Sn?(3n?2)(3n?1)
?11111??(?) bn(3n?2)(3n?1)33n?23n?1111111111??.......??(1????......??) b1b2bn34473n?23n?1Tn?111?Tn?(1?)? （12分）
33n?13【甘肃省天水一中2012学年度第一学期高三第四阶段考】已知数列?an?中，
a1?511n?1,an?1?an?()，(Ⅰ)记bn?2n?an?3 ，证明数列?bn? 是等比数列；(Ⅱ)632求数列?an?的通项公式.
2【答案】解：(Ⅰ)证明：
公比为
n?1an?1?3?2n4(2an?3) ，故数列?bn?是首项b1?2a1?3?? ，332 的等比数列， ???6分 3n?1n4?2? (Ⅱ)由(Ⅰ)知：bn?2an?3?(?)???3?3?1213 ???9分
nn所以an?3?()?2?() ???12分
【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】设 Sn 为数列 {an} 的前n项和（n＝1，2，3，……）．按如下方式定义数列 {an}：a1?m（m?N*），对任意k?N*，k?1，设 ak 为满足 0?ak?k?1的整数，且 k 整除Sk.．
（I）当 m?9 时，试给出 {an} 的前6项；
（II）证明：?k?N*，有
Sk?1Sk??1； k?1k（III）证明：对任意的 m，数列 {an} 必从某项起成为常数列． 【答案】解：（I）m = 9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3， 即前六项为9，1，2，0，3，3. ……………4分
（II）（III）
有为定值且
，由（II）可得单调不增，
数列
； ……………8分
，
必将从某项起变为常数，
- 7 -
不妨设从项起所以所以
当
为常数，则，于是
，于是
时成为常数列． ………………………………………15分
【福建省南安一中2012届高三上期末】已知数列{an}满足a1?3，
an?1?3an?3n(n?N*)，数列{bn}满足bn?（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列； （Ⅱ）设Sn?值.
【答案】（1）证明：由bn?∴bn?1?bn?an； 3naa1a2a3S11?????n，求满足不等式?n?的所有正整数n的345n?2128S2n4anan?1b?，得， n?13n3n?1an?1an1?n? n?13331??????6分 3所以数列?bn?是等差数列，首项b1?1，公差为（2）bn?1?(n?1)?从而有
13n?2，则an?3nbn?(n?2)?3n?1。??????8分 3an?3n?1， n?2ana1a2a31?3n3n?12n?1??????1?3?3???3??故Sn?。????11分 345n?21?32Sn111S3n?1111?n?。 则，由?2n?n?n?，得
1283?14128S2n4S2n3?13?1n即3?3?127，得1?n?4。
故满足不等式
S11?n?的所有正整数n的值为2，3，4。??????13分 128S2n4【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】数列{an}，{bn}（n?1,2,3,?）由下列条件确定：①a1?0,b1?0；②当k?2时，ak与bk满足：当ak?1?bk?1?0时，
ak?ak?1,bk?ak?1?bk?1a?bk?1；当ak?1?bk?1?0时，ak?k?1，bk?bk?1. 22
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（Ⅰ）若a1??1，b1?1，写出a2,a3,a4，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{bn}中，若b1?b2???bs(s?3,且s?N*)，试用a1,b1表示bkk?{1,2,?,s}； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列{cn}(n?N*)满足c1?1，cn?0， 222?m2求证：当n?m时，恒有cn?1. cn?1??cn?cn(其中m为给定的不小于2的整数)，
mam【答案】（Ⅰ）解：因为a1?b1?0，所以a2?a1??1,b2?a1?b1?0. 2因为a2?b2??1?0,所以a3?因为a3?b3??a2?b21??,b3?b2?0. 22a?b11?0,所以a4?33??,b4?b3?0. 22411所以a1??1,a2??1,a3??,a4??. ?????????????? 2分
24由此猜想，当k?2时,ak?1?bk?1?0，则ak?下面用数学归纳法证明：
①当k?2时，已证成立.
?②假设当k?l（l?N，且l?2）猜想成立，
ak?1?bk?1ak?1?，bk?bk?1?0.? 3分 22 即al?1?bl?1?0，bl?bl?1?0，al? 当k?l?1时，由al?al?1?0. 2al?1?0，bl?bl?1?0得al?bl?0，则bl?bl?1?0，
2al?1?al?blal??0. 22 综上所述，猜想成立.
?1?所以an?a2????2?n?2?1???1????2?n?2??12n?2(n?2).
??1?故an??1?n?2??2n?1,n?2.. ?????????????????? 6分
（Ⅱ）解：当2?k?s时，假设ak?1?bk?1?0，根据已知条件则有bk?bk?1，
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与b1?b2???bs矛盾，因此ak?1?bk?1?0不成立， ????? 7分 所以有ak?1?bk?1?0，从而有ak?ak?1，所以ak?a1. 当ak?1?bk?1?0时，ak?ak?1，bk?所以bk?ak?ak?1?bk?1, 2ak?1?bk?11?ak?1?(bk?1?ak?1); ???????? 8分 221当2?k?s时，总有bk?ak?(bk?1?ak?1)成立.
2又b1?a1?0，
所以数列{bk?ak}(k?1,2,?,s)是首项为b1?a1，公比为
1的等比数列, 2?1?bk?ak?(b1?a1)???2?k?1，k?1,2,?,s,
k?1?1?又因为ak?a1，所以bk?(b1?a1)???2??a1. ??????????? 10分
22?m2（Ⅲ）证明：由题意得cn?1??cn?cn
mam ?因为cn?1?12cn?cn. m121cn?cn，所以cn?1?cn?cn2?0. mm所以数列{cn}是单调递增数列. ?????????????? 11分 因此要证cn?1(n?m),只须证cm?1. 由m?2，则cn?1?121111cn?cn 11111111?(?)?(?)???(?)? cmcmcm?1cm?1cm?2c2c1c1??m?1m?1?2?. mmm?1. 所以cm?m?1故当n?m,恒有cn?1. ???????????????????14分 - 10 -