【西安市第一中学2012高三期中】已知数列
?an}满足，
a1＝1’a2?2,an＋2＝an?an?1,n?N*. 2???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；(Ⅱ)求?an}的通项公式。
【答案】解（1）证b1?a2?a1?1, 当n?2时，bn?an?1?an?所以?bn?是以1为首项，?an?1?an11?an??(an?an?1)??bn?1, 2221为公比的等比数列。 21n?1（2）解由（1）知bn?an?1?an?(?),
2n?2当n?2时，an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?1?1?(?)???(?)
121211?(?)n?1215212?1?[1?(?)n?2]??(?)n?1, ?1?1323321?(?)25211?1当n?1时，?(?)?1?a1。
332521n?1*所以an??(?)(n?N)。
332【北京市东城区2012学年度高三数第一学期期末】在等差数列?an?中，a1?3，其前n项和为Sn，等比数列?bn?的各项均为正数，b1?1，公比为q，且b2?S2?12， q?（Ⅰ）求an与bn； （Ⅱ）证明：
S2． b211112≤?????． 3S1S2Sn3【答案】解：（Ⅰ）设?an?的公差为d，
?b2?S2?12,?q?6?d?12，??S26?d 因为?所以?q?．q?,??qb2?? 解得 q?3或q??4（舍），d?3．
故an?3?3(n?1)?3n ，bn?3n?1． ?????6分
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（Ⅱ）因为Sn?所以
n(3?3n)， 212211??(?)． ???9分 Snn(3?3n)3nn?1 故
1112?1111111???????(1?)?(?)?(?)???(?)?
22334nn?1?S1S2Sn3?
21(1?)． ???11分 3n?11111?1， 因为n≥1，所以0?≤，于是≤1?n?122n?11212)?． 所以≤(1?33n?1311112 即≤?????． ?????13分
3S1S2Sn3?【北京市西城区2012学年度第一学期期末】已知数列An:a1,a2,?,an.如果数列
Bn:b1,b2,?,bn满足b1?an，bk?ak?1?ak?bk?1，
其中k?2,3,?,n，则称Bn为An的“衍生数列”.
（Ⅰ）若数列A4:a1,a2,a3,a4的“衍生数列”是B4:5,?2,7,2，求A4；
（Ⅱ）若n为偶数，且An的“衍生数列”是Bn，证明：Bn的“衍生数列”是An； （Ⅲ）若n为奇数，且An的“衍生数列”是Bn，Bn的“衍生数列”是Cn，?.依次将数列An，
Bn，Cn，?的第i(i?1,2,?,n)项取出，构成数列?i:ai,bi,ci,?.
证明：?i是等差数列.
【答案】（Ⅰ）解：A4:2,1,4,5. ??????3分 （Ⅱ）证法一：
证明：由已知，b1?a1?(a1?an)，b2?a1?a2?b1?a2?(a1?an).
因此，猜想bi?ai?(?1)i(a1?an). ??????4分 ① 当i?1时，b1?a1?(a1?an)，猜想成立； ② 假设i?k(k?N*)时，bk?ak?(?1)k(a1?an).
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当i?k?1时，bk?1?ak?ak?1?bk
?ak?ak?1?[ak?(?1)k(a1?an)] ?ak?ak?1?ak?(?1)k(a1?an) ?ak?1?(?1)k?1(a1?an)
故当i?k?1时猜想也成立.
由 ①、② 可知，对于任意正整数i，有bi?ai?(?1)i(a1?an). ??????7分 设数列Bn的“衍生数列”为Cn，则由以上结论可知
ci?bi?(?1)i(b1?bn)?ai?(?1)i(a1?an)?(?1)i(b1?bn)，其中i?1,2,3,?,n.
由于n为偶数，所以bn?an?(?1)n(a1?an)?a1，
所以 ci?ai?(?1)i(a1?an)?(?1)i(an?a1)?ai，其中i?1,2,3,?,n.
因此，数列Cn即是数列An. ??????9分 证法二： 因为 b1?an，
b1?b2?a1?a2， b2?b3?a2?a3，
??
bn?1?bn?an?1?an，
由于n为偶数，将上述n个等式中的第2,4,6,?,n这
n个式子都乘以?1，相加得 2b1?(b1?b2)?(b2?b3)???(bn?1?bn)?an?(a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)
即?bn??a1，bn?a1. ??????7分
由于a1?bn，ai?bi?1?bi?ai?1(i?2,3,?,n)，
根据“衍生数列”的定义知，数列An是Bn的“衍生数列”. ??????9分 （Ⅲ）证法一：
证明：设数列Xn,Yn,Zn中后者是前者的“衍生数列”.欲证?i成等差数列，只需证明
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xi,yi,zi成等差数列，即只要证明2yi?xi?zi(i?1,2,3,?,n)即可. ??10分
由（Ⅱ）中结论可知 yi?xi?(?1)i(x1?xn)，
zi?yi?(?1)i(y1?yn)
?xi?(?1)i(x1?xn)?(?1)i(y1?yn)
?xi?(?1)i(x1?xn)?(?1)i[xn?xn?(?1)n(x1?xn)] ?xi?(?1)i(x1?xn)?(?1)i(x1?xn) ?xi?2(?1)i(x1?xn)，
所以，xi?zi?2xi?2(?1)i(x1?xn)?2yi，即xi,yi,zi成等差数列， 所以?i是等差数列. ???13分 证法二：
因为 bi?ai?1?ai?bi?1(i?2,3,4,?,n)， 所以 bi?ai??(bi?1?ai?1)(i?2,3,4,?,n).
所以欲证?i成等差数列，只需证明?1成等差数列即可. ??????10分 对于数列An及其“衍生数列”Bn， 因为 b1?an，
b1?b2?a1?a2， b2?b3?a2?a3，
??
bn?1?bn?an?1?an，
由于n为奇数，将上述n个等式中的第2,4,6,?,n?1这
相加得
n?1个式子都乘以?1， 2b1?(b1?b2)?(b2?b3)???(bn?1?bn)?an?(a1?a2)?(a2?a3)???(an?1?an)
即bn?an?a1?an?2an?a1.
设数列Bn的“衍生数列”为Cn，
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因为 b1?an，c1?bn?2an?a1，
所以 2b1?a1?c1， 即a1,b1,c1成等差数列. 同理可证，b1,c1,d1;c1,d1,e1,?也成等差数列. 即 ?1是等差数列.
所以 ?i成等差数列. ??????13分 【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】
已知数列?an?，?bn?满足：a1?3，当n?2时，an?1?an?4n；对于任意的正整数n，
b1?2b2?L?2n?1bn?nan．设?bn?的前n项和为Sn.
（Ⅰ）计算a2,a3，并求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求满足13?Sn?14的n的集合.
【答案】（Ⅰ）在an?1?an?4n中，取n?2，得a1?a2?8，又，a1?3，故a2?5.同样
取n?3可得a3?7.????????2分
由an?1?an?4n及an?1?an?4(n?1)两式相减可得：所以数列?an?的an?1?an?1?4，奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而a2?a1?2，故?an?是公差为2的等差数列，?an?2n?1.????????5分
注：猜想an?2n?1而未能证明的扣2分；用数学归纳法证明不扣分. （Ⅱ）在b1?2b2+L?2n?1bn?nan中令n?1得b1?a1?3.????????6分
又b1?2b2?L?2nbn?1?(n?1)an?1，与b1?2b2?L?2n?1bn?nan两式相减可得：
2nbn?1?(n?1)an?1?nan?(n?1)(2n?3)?n(2n?1)?4n?3，bn?1?当n?2时，bn?4n?3，即2n4n?1 n?124n?1??????9分 2n?1经检验，b1?3也符合该式，所以，?bn?的通项公式为bn?11Sn?3?7??L?(4n?1)?()n?1.
2211111Sn?3??7?()2?L?(4n?5)?()n?1?(4n?1)?()n. 22222
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11111Sn?3?4[?()2?L?()n?1]?(4n?1)?()n 222224n?7利用等比数列求和公式并化简得：Sn?14?????????11分 n?12相减可得：
可见，?n?N?，Sn?14????????12分 经计算，S5?14?2731?13,S6?14??13，注意到 ?bn?的各项为正，故Sn单调递增，1632所以满足13?Sn?14的n的集合为nn?6,n?N.????????14分
??
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