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（5）根据方程(2.1)和方程(2.2)对粒子的速度和位置进行进化。
（6）如果达到结束条件（足够好的解或最大迭代次数），则结束，否则转步骤(2)。
粒子群优化算法的流程如图2.1所示
开 始 初始化每个粒子的速度和位置 计算每个粒子的适应值 求出每个粒子的个体最优 求出整个群体的全局最优值 根据方程(2.1)对粒子的速度进行进化 根据方程(2.2)对粒子的位置进行进化 否 是否满足结束条件 是 输出结果 图2.1 基本粒子群算法流程图
2.4 全局模型与局部模型
在2.2描述的算法中，粒子的行为是受自身最优pbest和全局最优gbest的影响，这种版本称为全局版本PSO算法，如图2.2所示。另一种为局部版本PSO算法，在该算法中，粒子的行为是不受全局最优gbest影响的，而是受自身最优pbest和拓扑结构中邻近粒子中的局部最优lbest影响的，如图2.3所示。对局部版本，式(2.1)改为：
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vij?t?1??vij?t??c1r1?t??pij?t??xij?t???c2r2?t??pij?t??xij?t?? (2.3) 其中，pij为邻近粒子的局部最优。
比较两种版本的算法，我们可以发现：因为全局版本PSO算法中所有粒子信息是共享的，所以算法收敛到全局最优的速度比局部版本PSO算法快。但全局PSO算法易陷入局部最优；局部PSO算法允许粒子与邻近粒子比较，相互施加影响，虽然算法收敛速度慢，但不易陷入局部最优。
图2.2 gbest模型 图2.3 lbest模型
2.5 算法特点
粒子群算法具有以下主要优点： ◆ 易于描述 ◆ 设置参数少 ◆ 容易实现 ◆ 收敛速度快
粒子群算法很容易实现，计算代价低且占用计算机硬件资源少。粒子群算法已被证明能很好地解决许多全局优化问题。当然，PSO算法也和其它全局优化算法一样，有易陷入局部最优，收敛精度不高，后期收敛速度慢等缺点。
2.6 带惯性权重的粒子群算法
探索是偏离原来的寻优轨迹去寻找一个更好的解，探索能力是一个算法的全局搜索能力。开发是利用一个好的解，继续原来的寻优轨迹去搜索更好的解，它是算法的局部搜索能力。如何确定局部搜索能力和全局搜索能力的比例，对一个问题的求解过程很重要。1998年，Yuhui Shi[9]提出了带有惯性权重的改进粒子群算法。其进化过程
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为：
vij?t?1??wvij?t??c1r1?t??pij?t??xij?t???c2r2?t??pgj?t??xij?t?? (2.4)
xij?t?1??xij?t??vij?t?1? (2.5)
在式(2.1)中，第一部分表示粒子先前的速度，用于保证算法的全局收敛性能；第二部分、第三部分则是使算法具有局部收敛能力。可以看出，式(2.4)中惯性权重w表示在多大程度上保留原来的速度。w较大，全局收敛能力强，局部收敛能力弱；w较小，局部收敛能力强，全局收敛能力弱。
当w=1时，式(2.4)与式(2.1)完全一样，表明带惯性权重的粒子群算法是基本粒子群算法的扩展。实验结果表明，w在[0.8,1.2]之间时，PSO算法有更快的收敛速度，而当w>1.2时，算法则易陷入局部极值。
2.7 粒子群算法的研究现状
在算法的理论研究方面。目前PSO算法还没有成熟的理论分析，少部分研究者对算法的收敛性进行了分析，大部分研究者在算法的结构和性能改善方面进行研究，包括参数分析，拓扑结构，粒子多样性保持，算法融合和性能比较等。PSO由于有简单、易于实现、设置参数少、无需梯度信息等特点，其在连续非线性优化问题和组合优化问题中都表现出良好的效果。
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第 3 章 用粒子群方法优化PID参数
PID控制是最早发展起来的控制策略之一，是指将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制。随着计算机的普及，数字PID控制在生产过程中已成为一种最常用的控制方法，在机电、冶金、机械、化工等诸多行业中获得了广泛的应用。
3.1 PID控制原理
图3.1给出PID控制系统的原理框图，该控制系统由模拟PID控制器和被控对象组成。
比例 e(t) 积分 r(t) + + + u(t) 被控对象 y(t) – 微分 图3.1 PID控制系统原理框图
PID控制是一种线性控制器，它根据给定值r(t)与实际输出值y(t)构成控制偏差：
e(t)?r(t)?y(t) (3.1) PID的控制规律为：
?1??et? u?t??Kp??Ti??t0e?t?dt?Tdde(t)?? (3.2) ?dt?或写成传递函数的形式： G?s??KU?s??Kp?i?Kds (3.3)
E?s?s其中，Kp为比例系数，Ti为积分时间常数，Td为微分时间常数。PID控制器中的
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各个校正环节的作用如下：
1、比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号e(t)，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减小偏差；
2、积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数凡，凡越大，积分作用越强，反之则越弱；
3、微分环节：反映偏差信号的变化趋势(变化速率)，并能在误差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。
3.2 PID控制的特点
PID控制器原理简单、鲁棒性好、可靠性高，因此一直是工业过程控制中应用最广的策略，尤其适用于可建立精确数学模型的确定性系统。
但是实际工业生产过程往往具有非线性、时变不确定性等困难性，难以建立精确的数学模型，应用常规PID控制器不能达到理想的控制效果。此外，在实际生产的现场中，常规PID控制器往往会受到参数整定过程繁杂的困扰，出现整定不良、性能欠佳的情况，对运行工况的适应性也很差。
3.3 优化设计简介
所谓优化设计就是一种对问题寻优的过程，人们所从事的任何工作都希望尽可能做好，以期得到一个理想的目标。在日常的设计过程中，常常需要根据产品设计的要求，合理地确定各种参数，以达到最佳的设计目标。实际上，在任何一项设计工作中都包含着寻优过程，但这种寻优在很大程度上带有经验性，多根据人们的直觉、经验及不断试验而实现的，由于受到经验、时间、环境等条件的限制，往往难以得到最佳的结果。
优化设计是20世纪60年代发展起来的一门新的学科，它是最优化技术和计算机技术在设计领域应用的结果。优化设计为工程设计提供了一种重要的科学设计方法，在解决复杂设计问题时，它能从众多的设计方案中找到尽可能完善的设计方案。要实现问题的优化必须具备两个条件，一是存在一个优化目标；另一是具有多个方案可供选择。