递推数列题型归纳解析

专题方法总结 递推数列题型归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 an?1?an?f(n) 解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列?a11n?满足a1?2，an?1?an?n2?n，求an。 解：由条件知：an?1?a11n?n2?n?n(n?1)?11n?n?1 分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1) ?(1?12)?(12?1113)?(3?4)????????(11n?1?n) 所以a1n?a1?1?n ?a11?2，?a11n?12?1?n?32?n 变式:（2004，全国I，理22．） 已知数列{an}中a1?1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,……. （I）求a3, a5； （II）求{ an}的通项公式. 解：?ak2k?a2k?1?(?1)，ak2k?1?a2k?3 ?akkk2k?1?a2k?3?a2k?1?(?1)?3，即a2k?1?a2k?1?3k?(?1)k ?a223?a1?3?(?1)，a5?a3?3?(?1)…… ……a2k?1?a2k?1?3k?(?1)k 将以上k个式子相加，得 a2k22k?1?a1?(3?3?????3)?[(?1)?(?1)?????(?1)k]?3k2(3?1)?12[(?1)k?1] 1 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 将ak?1k1?1代入，得a2k?1?12?3?12(?1)?1， a1kk2k?a2k?1?(?1)k?2?3?12(?1)?1。 ?n?1?1n?12?1?(?1)2?1(经检验a???2?32n为奇数)1?1也适合，?an?1nn ?2?32?1?(?1)2?1(n为偶数?2)类型2 an?1?f(n)an 解法：把原递推公式转化为an?1a?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 n例:已知数列?an?满足a21?3，ann?1?n?1an，求an。 解：由条件知an?1a?nnn?1，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累乘之，即 a2a3ana?????????a?12????????n?11a?a42a3n?12?3?34n?ana?11n又?a1?23，?an?23n 例:已知a1?3，a3n?1n?1?3n?2an (n?1)，求an。 解：a3(n?1)?13(n?2)?13?2?13?1n?3(n?1)?2?3(n?2)?2?????3?2?2?3?2a1 ?3n?43n? 3n?1?73n?4??58?25?3?63n?1。 变式（:2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1 (n≥2)，则{a的通项a?11n}n??n? ?___n?2 解：由已知，得an?1?a1?2a2?3a3?????(n?1)an?1?nan，用此式减去已知式，得 2 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 当n?2时，an?1?an?nan，即an?1?(n?1)an，又a2?a1?1， ?a1?1,a2a?1,a33,a4???,an1a?2a?4,3a?n，将以上n个式子相乘，得n?1an!n?2(n?2) 类型3 an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an?1?t?p(aqn?t)，其中t?，再利1?p用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an. 解：设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.故递推公式为an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则b1?a1?3?4,且bn?1?3b?an?1na?2.所以?bn?是以b1?4为首项，2为公比的等比数列，则n?3b4?2n?1?2n?1n?,所以an?2n?1?3. 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列?an?中，若a1?1,an?1?2an?3(n?1)，则该数列的通项an?_______________ （key:an?1n?2?3） 变式:（2006. 福建.理22）已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*). （I）求数列?a1n?的通项公式；（II）若数列{bbn}滿足41?4b2?1?4bn?1?(abnn?1)(n?N*),证明：数列{bn1n}是等差数列；（Ⅲ）证明：2?3?a1a?a2n2a?...?an?N*). 3a?nn?12(（I）解：?a*n?1?2an?1(n?N), ?an?1?1?2(an?1), ??an?1?是以a1?1?2为 3 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 首项，2为公比的等比数列nn ?an?1?2. 即 an?2?1(n?N*). （II）证法一：?4k1?14k2?1...4kn?1?(akn?1)n. ?4(k1?k2?...?kn)?n?2nkn. ?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ① 2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn,即(n?1)bn?1?nbn?2?0, nbn?2?(n?1)bn?1?2?0. ③－④，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0,即 bn?2?2bn?1?bn?0, ?b*n?2?bn?1?bn?1?bn(n?N), ??bn?是等差数列 证法二：同证法一，得 (n?1)bn?1?nbn?2?0 令n?1,得b1?2. 设b2?2?d(d?R),下面用数学归纳法证明 bn?2?(n?1)d. （1）当n?1,2时，等式成立 （2）假设当n?k(k?2)时，bk?2?(k?1)d,那么 bkk2k?1?k?1bk?2k?1?k?1[2?(k?1)d]?k?1?2?[(k?1)?1]d. 这就是说，当n?k?1时，等式也成立 根据（1）和（2），可知b*n?2?(n?1)d对任何n?N都成立 ?bn?1?bn?d,??bn?是等差数列 kk （III）证明：?ak1a?2?11k?12k?1?1?2?2(2k?1?2,k?1,2,...,n,2) ?a1a?a2n2a?...?an3a?n?12. 4 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 k ?ak1111a?2?1?1k?12k?1?2?2(2k?1?1)?12?3.2k?2k?2?2?13.12k,k?1,2,...,n, ?a1a?a2?...?an2a3a?n1111nn?12?3(2?2?11n12?...2n)?2?3(1?2n)?2?3, ?n?1a223?a1a??...?ana?n?N*). 2a3n?12(n 变式:递推式：an?1?pan?f?n?。解法：只需构造数列?bn?，消去f?n?带来的差异． 类型4 ann?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。 （或ann?1?pan?rq,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：an?1pqn?1?q?anqn?1q引入辅助数列?banpn?（其中bn?解决。 qn），得：bn?1?qbn?1再待定系数法q例:已知数列?an?中，a51?6,an?1?13a(1n?1n?2)，求an。 解：在a1n?1?3a(12)n?1两边乘以2n?1得：2n?1?a2nn?n?1?3(2?an)?1 令b?2n?an，则b2nn?1?3b?1,解之得：b2nnn?3?2(3)所以an?bn?3(1n12n2)?2(3)n 变式:（2006，全国I,理22） 设数列?a1n?的前n项的和S4n?3an?3?2n?1?23，n?1,2,3,??? （Ⅰ）求首项a2nn31与通项an；（Ⅱ）设Tn?S，n?1,2,3,???，证明：?Ti?ni?12 解：（I）当n?1时，a421?S1?3a1?43?3?a1?2； 5 每个学生都应该用的 “超级学习笔记”