递推数列题型归纳解析(2)

专题方法总结 6 当n?2时，an?Sn?Sn?1?n43an?n13?2n?1?23?(43an?1?13?2?n23)，即利用a?pa?q（其中p，q均为常数，。 a?4a?2，(pq(p?1)(q?1)?0)）nn?1n?1n（或annn?1?pan?rq,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得：an?4?2n (Ⅱ)将ann?4?2n代入①得 S4n－2n)－1212n= ×(43×2n+1 + 3 = 3×(2n+1－1)(2n+1－2) = 3×(2n+13－1)(2n－1) T2n32n311n= S = ×n2 (2n+1－1)(2n－1) = 2×(2n－1 － 2n+1－1) nn所以, ?T= 3113113ii?12?(i?12i－1 － 2i+1－1) = 2×(21－1 － 2i+1－1) < 2 类型5 递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san)其中s，t满足?s?t?p??st??q 解法二(特征根法)：对于由递推公式an?2?pan?1?qan，a1??,a2??给出的数列?an?，方程x2?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。若x1,x2是特征方程的两个根，当x时，数列?an?11?x2n?的通项为an?Axn?11?Bx2，其中A，B由aaaan?1n?11??,2??决定（即把a1,2,x1,x2和n?1,2，代入n?Ax1?Bx2，得到关于A、B的方程组）；当xn?11?x2时，数列?an?的通项为an?(A?Bn)x1，其中A，B由a决定（即把an?11??,a2??1,a2,x1,x2和n?1,2，代入an?(A?Bn)x1， 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 得到关于A、B的方程组）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。由3an?2?5an?1?2an?0，得a2n?2?an?1?3(an?1?an)，且a2?a1?b?a。 则数列?a?a为首项，2n?1?an?是以b3为公比的等比数列，于是a?ab?a)(2n?1n?1n?(3)。 把n?1,2,3,???,n代入，得a22?a1?b?a，a3?a2?(b?a)?(3)，aa224?3?(b?a)?(3)，??? aa(b?a)(2n?2n?n?1?3)。把以上各式相加，得 2a2221?()n?1n?23n?a1?(b?a)[1?3?(3)?????(3)]?(b?a)。 1?23?a?3(23)n?1](b?a)?a?3(a?b)(2n?1n?[33)?3b?2a。 解法二（特征根法）：数列?an?：3an?2?5an?1?2an?0(n?0,n?N)， a1?a,a2?b的特征方程是：3x2?5x?2?0。?x,x2n?1?Bxn?11?12?3,?an?Ax12?A?B?(2n?13)。又由a1?a,a2?b，于是 ??a?A?B?2??A?3b?2a?故a?3b?2a?3(a?b)(2)n?1 ??b?A?3B?B?3(a?b)n3例:已知数列?a21n?中，a1?1,a2?2,an?2?3an?1?3an，求an。 解：由a2n?2?3an?1?13an可转化为an?2?san?1?t(an?1?san) 7 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 8 2?1s?t??s?1??s?????3即an?2?(s?t)an?1?stan???1??1或?3 ??t????st??3?3?t?1?这里不妨选用?s?1??1（当然也可选用??s??13，大家可以试一试），则??t??3??t?1an?2?an?1??13(an?1?an)??an?1?an?是以首项为a2?a1?1，公比为?13的等比数列,所以aa1n?1n?1?n?(?3),应用类型1的方法，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即a11?(?1)n?11?2n?a1?(?13)0?(?3)????????(?13)n?3又?a1?1，所以1?13a73n?4?4(?1n?13)。 变式:（2006，福建,文,22）已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*). （I）证明：数列?an?1?an?是等比数列；（II）求数列?an?的通项公式；（III）若数列?bn?满足 4b1?14b2?1...4bn?1?(abn?1)n(n?N*),证明?bn?是等差数列 （I）证明：?an?2?3an?1?2an, ?a*n?2?an?1?2(an?1?an),?a1?1,a?an?12?3,?an?2an?1?a?2(n?N). n??an?1?an?是以a2?a1?2为首项，2为公比的等比数列 （II）解：由（I）得ann?1?an?2(n?N*), ?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?...?(a2?a1)?a1 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 ?2n?1?2n?2?...?2?1?2n?1(n?N*). （III）证明：?4b1?14b2?1...4bn?1?(ab...?bn)n?1)n,?4(b1?b2??2nbn, ?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, ①2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1.② ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn,即(n?1)bn?1?nbn?2?0. ③ nbn?2?(n?1)bn?1?2?0. ④ ④－③，得nbn?2?2nbn?1?nbn?0,即bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?b*n(n?N), ??bn?是等差数列 类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn?f(an)) 解法：这种类型一般利用a?S1????????????????(n?1)n???Sn?Sn?1???????(n?2)与an?Sn?Sn?1?f(an)?f(an?1)消去Sn (n?2)或与Sn?f(Sn?Sn?1)(n?2)消去an进行求解。 例：已知数列?an?前n项和S1n?4?an?2n?2.（1）求an?1与an的关系；（2）求通项公式an. 解：（1）由S11n?4?an?2n?2得：Sn?1?4?an?1?2n?1于是S1n?1?Sn?(an?an?1)?(2n?2?12n?1) 所以a11n?1?an?an?1?2n?1?an?1?2an?12n. 9 每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 专题方法总结 （2）应用类型4（ann?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)））的方法，上式两边同乘以2n?1得：2n?1ann?1?2an?2由a12n1?S1?4?a1?21?2?a1?1.于是数列?an?是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2na?1)?2n?ann?2?2(nn?2n?1 变式:（06陕西,理,) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列 ∴a1≠3;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 变式: (05,江西,文),已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－1?12=3(?2)n(n?3),且S1?1,S2??32,求数列{an}的通项公式. 解：?S1n?1n?Sn?2?an?an?1，?an?an?1?3?(?2)(n?3)，两边同乘以(?1)n，可得 (?1)na?11n?1n?an?1(?1)n?3?(?1)n(?2)??3?(1n?12)令b?(?1)na1n?1nn?bn?bn?1??3?(2)(n?3) b1n?212n?1?bn?2??3?(2)…… ……b3?b2??3?(2) 1?1?b3?[(1)n?1?(1)n?2?????(124?(1n?22)n?b2?222)]?b2?3?41?12?b32?2?3?(12)n?1(n?3) 10 每个学生都应该用的 “超级学习笔记”